APPLIED QUESTIONS OF MATHEMATICAL MODELLING

ANALYSIS OF MATHEMATICAL MODELS OF MARITIME SHIPPING TRENDS IN A CRISIS ENVIRONMENT

A.D. ABRAMOV — 2021-10-04

The maritime shipping sector has a considerable influence in socioeconomic development and investment potential of governments. Graphs of maritime shipping growth trends show a considerable decline related to the global economic crisis of 2008-2009, and the picture after the ongoing COVID crisis shows very similar figures. This shows that although maritime shipping overall has a positive growth outlook, there is an uncertainty regarding the stability of economical growth and related consequences for the maritime shipping sector. This uncertainty first of all is due to geopolitical and economic risks from trade politics and structural shifts, such as economics rebalancing in China, the decline in growth of global production-supply chains, changes in the global energetic balance, and the ongoing crisis. Also contributing to this is the emergence of new tendencies, in particular the spread of digital technologies which may change the face of maritime shipping as well as the streams and patterns of maritime shipping. It is still unclear how these factors would develop and how they would support or restrict the growth in maritime shipping. Even so, the long-term outlook for global container shipping volumes remains positive. Still, it is evident that further monitoring and evaluation is required. In this case, a closer look at the maritime shipping dynamics across various cargo types allows for a clearer picture of how maritime shipping can continue to develop. To that end, based on statistics on various maritime cargo shipments, we have performed a regression-correlation analysis and received linear regression equations which describe shipping trends of chemical products, liquids, container shipments, and other cargo types. The regression analysis is based on statistics from 2000-2018, so the forecast for the following years is done with the assumption that the same conditions persist. Recent events (the COVID-19 pandemic and the global crisis it caused) are force-majeure conditions, which would ultimately disrupt the forecast. Forecasting in this regard can be resumed when factual values for the decline in 2020-2021 would be made known.

Сфера морських перевезень значно впливає на соціально-економічний розвиток і інвестиційний потенціал держав. На графіках трендів росту вантажоперевезень чітко помітний спад, пов'язаний зі світовою економічною кризою 2008-2009 року, і поточна криза у зв'язку з COVID має дуже схожі показники. Це говорить про те, що, хоча перспективи розвитку морських перевезень у цілому представляються позитивними, існує невизначеність відносно стійкості економічного пожвавлення й пов'язаних із цим наслідків для сектору морських перевезень. Така невизначеність значною мірою обумовлена комбінацією геополітичних і економічних ризиків, торговельною політикою й структурними зрушеннями, такими як перебалансування економіки Китаю, уповільнення росту глобальних виробничо-збутових ланцюжків, зміни у світовому енергетичному балансі і поточна криза. Цьому сприяє також поява нових тенденцій, зокрема поширення цифрових технологій, які можуть змінити вигляд світового судноплавства, потоки й схеми морських перевезень. Як і раніше, неясно, як ці фактори будуть розвиватися і у якому степені вони будуть підтримувати або стримувати процес пожвавлення росту морських перевезень. Очевидно, що вони потребують подальшого моніторингу й оцінки. Однак більш уважний аналіз динаміки морських перевезень по окремих видах вантажів дозволяє одержати більш чітку уяву про зміни в їхній інтенсивності. Для цього на основі статистики по вантажообігу окремих видів морських вантажів проведений регрессійно-кореляційний аналіз і отримані рівняння лінійних регресій, що описують тренди зростання вантажообігу хімічних продуктів, наливних вантажів, контейнерних перевезень і інших типів вантажів. Аналіз базується на статистиці 2000-2018 років, тому прогноз на наступні роки виконаний з припущенням збереження умов його реалізації. Події останнього часу (пандемія COVID-19 і обумовлена нею світова економічна криза) є форс-мажорними обставинами, що, природно, порушить прогноз. Прогноз у цьому випадку може бути відновлений, коли будуть відомі фактичні об'єми спаду в 2020-2021 роках.

MODELING THE PROCESS OF SPHEROIDIZATION POWDER PARTICLES BY THE PLASMA-ARC METHOD

А.Yu. ANDREYTSEV — 2021-10-04

Many modern technological processes require the use of metallic, ceramic and metal-ceramic powders, the particles of which have an ideal spherical shape. Consequently, the task arises of effective spheroidization of the powders used. The most effective way of spheroidization is powder treatment in a low-temperature plasma flow.

In order to obtain perfect spherical particles, it is necessary that by the end of the distance the particle has minimal velocity and temperature in order to avoid deformation upon impact with the surface to collect the powder. In addition, during the flight, the particle must completely melt, but not reach the evaporation temperature, and then solidify.

The problem of modeling the process of spheroidization of powder particles using the plasma-arc method is reduced to determination of the particle velocity and temperature in the low-temperature plasma flow considering changes in its aggregate state.

Determination of the particle velocity is carried out considering the fact that the only force acting on it is the force of aerodynamic resistance. The plasma flow velocity is approximated by an exponential function. As a result, we obtain an implicit solution of the differential equation for determining the velocity of the particle along the distance.

To investigate the temperature mode, we consider five sections of the distance.

On the first of them (heating the particle to the melting temperature), we use the heat balance equation to determine the temperature.

The second section is the process of particle melting. Here we determine the melting time of the particle, based on the heat balance equation, provided there is no heat flow at the phase transition boundary.

The third section is the flight of the particle in the molten state. To model the process, we solve the boundary problem for the one-dimensional heat equation for spherical solid by approximating the plasma temperature with cubic splines.

For the fourth section (solidification of the particle) the same model as for the second one is used. And for the fifth (cooling of the particle), the same approach as for the third.

Finally, the results for titanium particles with a diameter of 10 μm are presented.

Багато сучасних технологічних процесів вимагають використання металевих, керамічних та метало-керамічних порошків, частинки яких мають ідеальну сферичну форму. Отже, виникає задача ефективної сфероїдизації порошків, що використовуються. Найбільш ефективним способом сфероїдизації є обробка порошку в потоці низькотемпературної плазми.

Для отримання частинок ідеальної сферичної форми необхідно, щоб до кінця дистанції частинка мала мінімальну швидкість і температуру, щоб уникнути деформації під час удару об поверхню для збору порошку. Крім того, в процесі польоту частинка повинна повністю розплавитись, але не досягати температури випаровування, а потім затвердіти.

Задача моделювання процесу сфероїдизації частинок порошку плазмово-дуговим методом зводиться до визначення швидкості і температури частинки в потоці низькотемпературної плазми з урахуванням зміни її агрегатного стану.

Визначення швидкості частинки проведено з урахуванням того, що єдиною силою, що діє на неї, є сила аеродинамічного опору. Швидкість плазмового потоку апроксимуємо експоненціальною функцією. В результаті, отримуємо неявний розв’язок диференціального рівняння для визначення швидкості частинки вздовж дистанції.

Для дослідження температурного режиму розглядаємо п'ять ділянок дистанції.

На першій з них (розігрів частинки до температури плавлення) використовуємо для визначення температури рівняння теплового балансу.

Друга ділянка – процес плавлення частинки. Тут ми визначаємо час плавлення частинки, виходячи з рівняння теплового балансу, за умови відсутності теплового потоку на межі фазового переходу.

Третя ділянка – політ частинки в розплавленому стані. Для моделювання процесу розв’язуємо крайову задачу для одновимірного рівняння теплопровідності для сферичного тіла, апроксимуючи температуру плазми кубічними сплайнами.

Для четвертої ділянки (затвердіння частки) використана та ж модель, що і для другого. А на п'ятому (охолодження частки) - такий самий підхід, що й на третьому.

На завершення наведені результати для частинок титану діаметром 10 мкм.

ARBELOS AND ASSOCIATED CIRCLES

V.D. BORISENKO — 2021-10-04

Geometry as a science originated in Ancient Greece, its axiomatic constructions are described in the "Elements" of Euclid. Euclidean geometry studied the simplest figures on the plane and in space. Greek-speaking mathematicians who lived between the 6^th century BC and 5^th century AD, posed and solved many interesting geometric problems. Most of these tasks were solved graphically, which required the execution of a large number of various complex constructions. At that time it was believed that "truly geometric" are those tasks that were solved only with the help of such "scientific instruments" as a compass and a ruler. Ancient Greek mathematicians paid special attention to one of the most important geometric figures – circles, which even in those days were widely used in practice. Archimedes of Syracuse, who first introduced the concept of arbelos, made a significant contribution to the study of the circle. By arbelos, he understood a flat geometric figure formed by a certain semicircle, from which two smaller semicircles with diameters lying on the diameter of the original semicircle were cut out and divided into two parts. Thus, a curvilinear triangle was formed, bounded by three semicircles.

This work considers the issue of solving well-known ancient geometric problems using modern methods of engineering graphics, analytical geometry and numerical methods, without additional constructions, which are used in the graphical solution of the problems under consideration. When implemented numerically, the problem was reduced to solving a nonlinear equation with one unknown. Nonlinear equations are associated with finding the radii of inscribed or circumscribed circles and the coordinates of their centers. In the work, in particular, circles inscribed in arbelos, paired circles of Archimedes, known as twin circles, the Pappa chain of Alexandria are constructed. Based on the research of modern mathematicians on arbelos, the problems of constructing the circles of Bankoff, Schoch, Woo were solved.

Геометрія як наука зародилася в стародавній Греції, її аксіоматичні побудови описані в "Началах" Евкліда. Евклідова геометрія займалася вивченням найпростіших фігур на площині та в просторі. Грецькомовні математики, які жили в період між VI століттям до н.е. і V століттям н.е., поставили та розв’язали багато цікавих геометричних задач. Більшість цих задач розв’язувалася графічним шляхом, що вимагало виконання великої кількості різноманітних складних побудов. На той час вважалося, що "істинно геометричними" є ті задачі, які розв’язувалися тільки за допомогою таких "наукових інструментів" як циркуль та лінійка. Особливу увагу древньогрецькі математики приділяли одному із найважливіших геометричних образів – колу, яке навіть у ті часи знаходило широке практичне застосування. Суттєвий внесок у дослідження кола зробив Архімед Сіракузький, який вперше ввів поняття арбелос. Під арбелосом він розумів плоску геометричну фігуру, утворену деяким півколом, з якого вирізані два менших півкола з діаметрами, що лежать на діаметрі вихідного кола і розбивають його на дві частини. Таким чином, утворювався криволінійний трикутник, обмежений трьома півколами.

У пропонованій роботі розглядається питання розв’язання відомих старовинних геометричних задач із застосуванням сучасних методів інженерної графіки, аналітичної геометрії та числових методів, без проведення додаткових побудов, які використовуються при графічному розв'язанні розглянутих задач. При числовій реалізації поставлена задача зводилася до розв’язання нелінійного рівняння з однією змінною. Нелінійні рівняння пов’язані із знаходженням радіусів вписаних або описаних кіл та координат їх центрів. У роботі, зокрема, побудовані коло, вписане в арбелос, спарені кола Архімеда, відомі як кола-близнюки, ланцюг Паппи Олександрійського. Спираючись на дослідження сучасних математиків, присвячених арбелосу, розв’язані задачі побудови кіл Банкова (Bankoff), Шоха (Schoch), Ву (Woo).

THE QUALITATIVE FRACTAL ANALYSIS OF LONG TERM TIME SERIES FOR AGRICULTURAL SOILS’ ELECTRICAL CONDUCTIVITY PARAMETERS: METHODS OF NONLINEAR DYNAMICS, THEORY OF CHAOS, PHASE TRAJECTORIES

A.A. BROVARETS — 2021-10-04

The procedure of the qualitative fractal analysis of long term time series for agricultural soils’ electrical conductivity parameters, for which the hypothesis of trend existence isn’t confirmed, with application of the methods of nonlinear dynamics, theory of chaos and phase trajectories, is presented. The real time series characterizing mentioned above electrical conductivity parameters of Ukrainian soils are considered. The basis for similar researches is Takens’s theorem. The randomness of the studied dynamical system given by time realizations is established by means of Lyapunov’s indicator. The state stability is estimated by Hausdorff ’s fractal dimension and the fractality index. Visual evaluation of the time series was carried out by means of the phase trajectory restoration procedure. As a result of the analysis of phase points in the phase space the split attractor is indicated, which gives the chaise to speak about its bifurcation.

Application of the nonlinear dynamical system theory methods to the time series analysis is based on the hypothesis that the available series describes the behavior of the studied system, and it’s the only available information about this system. According to the well-known Takens’s theorem [1] a single time series suffices for an adequate description of a dynamical system as a whole.

The analysis of time series by the methods of nonlinear dynamical system theory is becoming widely applied. In terminology of this theory the process described by time series contains the deterministic chaos, or, in other words, is chaotic. From the linear analysis method point of view they are stochastic processes.

The nonlinear analysis demonstrates that neither can these processes be considered as deterministic ones, nor are they absolutely random. In other words, only short-term forecasting of the system condition is possible with certain accuracy.

Запропоновано процедуру якісного фрактального аналізу довготривалих часових рядів параметрів електропровідності ґрунтів сільськогосподарського призначення, для яких не підтверджується гіпотеза про наявність тренда, із застосуванням методу нелінійної динаміки, теорії хаосу та фазових траєкторій. Розглянуті реальні часові ряди, що характеризують згадані параметри електропровідності українських ґрунтів (сільськогосподарського призначення). Обґрунтуванням для подібних досліджень є теорія Такенса. Хаотичність досліджуваної динаміки системи, що задана часовими реалізаціями, встановлена за допомогою показника Ляпунова. Оцінка стійкості стану оцінювалась фрактальною розмірністю Хаусдорффа й індексом фрактальності. Візуальна оцінка часового ряду проводилась за допомогою процедури відновлення фазових траєкторій. У результаті аналізу фазових точок фазового простору виявлені ознаки розщепленого аттрактору, що дає можливість говорити про його біфуркацію.

Застосування методів теорії нелінійних динамічних систем до аналізу часових рядів базується на гіпотезі про можливість опису поведінки досліджуваних систем подібним чином, й до того ж це єдина доступна інформація про систему. Згідно з добре відомою теоремою Такенса [1], одного часового ряду для адекватного опису динамічної системи цілком достатньо.

Аналіз часових рядів методами теорії нелінійних динамічних систем зараз набуває широкого застосування. Згідно з термінологією цієї теорії, процес, який описується часовими рядами, може утримувати у собі детермінований хаос, або, іншими словами, стає хаотичним. З точки зору методу лінійного аналізу, такі процеси є хаотичними.

Нелінійний аналіз демонструє те, що такі процеси можна розглядати або як детерміновані, або як абсолютно стохастичні. Іншими словами, тільки короткотривале прогнозування поведінки системи є можливим з певною точністю.

THREE-DIMENSIONAL COMPOSITION MATRIXES AND THEIR APPLICATIONS FOR CREATION OF COMPOSITIONAL GEOMETRIC MODELS OF VOLUME OBJECTS OF ANY ARBITRARY FORM

V. M. VERESHCHAHA — 2021-10-04

In the research the geometrical way of creation of models of dynamics in space of discretely presented separate states of process on the basis of use of methods of compositional geometry is offered.

The definition of basic states, three-dimensional composite matrices is introduced, the rules of designation of indexing of elements of three-dimensional composite matrices (compomatrices) are offered.

It is pointed out that a three-dimensional composite cannot be presented in the form of a single table, so it is proposed to provide them in the form of a set of tables in the areas of parameterization of the geometric figure for which this three-dimensional computer matrix is compiled.

Examples of their general and detailed presentation are given.

It is reminded that in composite geometric modeling (CGM) each initial geometric figure (GF), before solving the problem, must be unified, ie lead to a form suitable for its use in composite geometric modeling.

The geometric component of the unified GF is presented in the form of point matrix matrices in parametric directions.

The parametric component of the unified GF is presented in the form of parametric compomatrix.

It is emphasized that all calculation operations are carried out through the use of three-dimensional coordinate matrices (calculated), which are compiled according to the scheme of the corresponding point compomatrices.

It is pointed out that the initially formed three-dimensional computer matrix is parametric, almost always, non-harmonized, ie the sum of all its elements is not equal to one.

An algorithm for harmonizing a parametric three-dimensional computer matrix is provided.

The sequence of operations in the compomatrix form concerning obtaining a compomatrix of three-dimensional for a three-dimensional geometric figure of arbitrary form is given.

У дослідженні запропоновано геометричний спосіб створення моделей динаміки у просторі дискретно поданих окремих станів процесу, на базі використання методів композиційної геометрії.

Вводиться означення базисних станів, трирозмірних композиційних матриць, пропонуються правила позначення індексації елементів трирозмірних композиційних матриць (компоматриць).

Вказується на те, що трирозмірну композиційну матрицю неможливо подати у вигляді однієї таблиці, тому запропоновано подавати її у вигляді сукупності таблиць за напрямками параметризації геометричної фігури, для якої складається ця трирозмірна компоматриця.

Наведено приклади загального та розгорнутого подання таких таблиць.

Нагадується, що у композиційному геометричному моделюванні (КГМ) кожну вихідну геометричну фігуру (ГФ), перед розв'язанням задачі, необхідно уніфікувати, тобто привести до вигляду, придатного для її використання у композиційному геометричному моделюванні.

Геометрична складова уніфікованої ГФ подається у вигляді точкових компоматриць за напрямками параметризації.

Параметрична складова уніфікованої ГФ подається у вигляді параметричних компоматриць.

Наголошується, що усі розрахункові операції здійснюються через використання тривимірних координатних (розрахункових) компоматриць, які складаються за схемою відповідних точкових компоматриць.

Вказується на те, що початково сформована трирозмірна параметрична компоматриця, майже завжди, є негармонізованою, тобто сума всіх її елементів не дорівнює одиниці.

Надається алгоритм гармонізаціїї параметричної трирозмірної компоматриці.

Надається послідовність операцій у компоматричній формі щодо здобуття трирозмірної компоматриці для об'ємної геометричної фігури довільної форми.

NUMERICAL MODELLING OF CONTACT INTERACTION STAMPS AND RUBBER-CORD STRIP

S.I. HOMENYUK — 2021-10-04

Rubber-cord materials consisting of a weakly compressible rubber matrix and metal fibers have been considered. The presence of different materials makes it impossible to direct calculations for the vast majority of problems therefore before this by known ratios has been carried out homogenization of these materials. For this purpose, the relations for effective elastic stable fibrous composites constants on the formulas of Vanin G. A. have been used.

The moment scheme of finite elements has been used to determine the stress-strain state of the body. In the contact zone, the sampling has been performed by spatial hexahedral finite elements of finite dimensions. For modeling of infinite dimensions of the homogenized material, according to the moment scheme of a finite element, are used the special approximating functions, which allow to display the finite dimensions of the finite element in the infinite global coordinate system. For the developed finite element, fiber reinforcement takes place in planes parallel to one of the faces of the element, which has an infinite size.

Modeling of contact interaction of stamps with multilayer environments has been carried out on the basis of the finite element method. The solution of the problem has been carried out in the iterative process under the condition of non-penetration of one body into another, which was provided with the selection of the vector of additional load.

A number of contact problems for multilayer environments have been solved with the help of the MIRELA + software package. The stress-strain state in the conditions of contact with the system of stamps in the form of two elliptical paraboloids has been determined for the three-layer rubber-cord strip. The distribution of maximum compressive (contact) stresses and deformations of the side surface of the strip for different values of the volume fraction of fiber in the composite has been studied. A comparison of the stress-strain state of the rubber cord strip at different distances between stamps and different schemes of laying fibers in the layers of the strip has been make.

Розглянуто гумовокордні матеріали, що складаються із слабкостисливої гумової матриці та металевих волокон. Наявність різних матеріалів унеможливлює безпосередні розрахунки для переважної більшості задач, тому, попередньо, за відомими співвідношеннями проведено гомогенізацію даних матеріалів. Для цього використано співвідношення для ефективних пружних сталих волокнистих композитів на основі формул Ваніна Г. А.

Для визначення напружено-деформованого стану тіла використано моментну схему скінченних елементів. У зоні контакту дискретизацію проведено просторовими шестигранними скінченними елементами скінченних розмірів. Для моделювання нескінченних розмірів гомогенізованого матеріалу застосовано спеціальні апроксимуючі функції, які дозволяють відображати скінченні розміри скінченного елемента в локальній системі координат у нескінченні в глобальній системі координат. Для розробленого скінченного елемента армування волокнами відбувається у площинах, паралельних одній із граней елемента, що має нескінченний розмір.

Моделювання контактної взаємодії штампів із багатошаровими середовищами здійснено на основі тривимірного методу скінченних елементів. Розв’язання задачі проведено в ітераційному процесі за умови непроникнення одного тіла в інше, що забезпечувалося підбором вектору додаткового навантаження.

За допомогою програмного комплексу «МІРЕЛА+» розв’язано низку контактних задач для багатошарових середовищ. Для тришарової гумовокордної смуги визначено напружено-деформований стан в умовах контакту із системою штампів у вигляді двох еліптичних параболоїдів. Досліджено розподіл максимальних стискаючих (контактних) напружень та деформацій бічної поверхні смуги для різних значень об’ємної долі волокна у композиті. Проведено порівняння напружено-деформованого стану гумовокордної смуги при різних відстанях між штампами та різних схем укладання волокон у шарах смуги.

RESEARCH OF MACHINE LEARNING METHODS FOR SEARCH INFORMATION

T.A. HRYHOROVA — 2021-10-04

The advantages of using machine learning in search are that the search engine can learn and thus lead to more personalized answers, rather than the common results. In well-known search engines, such algorithms have been used for a long time and are constantly being improved. In the work on the examples were studied methods and algorithms of machine learning, which are used to search for information, their advantages and disadvantages. Collaborative filtering, clustering, and search for associative rules were chosen. The main approaches of collaborative filtering - correlation and latent models are considered. The correlation models - user similarity filtering (user-based filtration) and link similarity filtering (item-based filtration). These models are considered in the examples, which show how the algorithms work. Link similarity filtering predicts an estimate based on the estimates of another link, and uses regression analysis or, alternatively, uses a simplified predictor called the SlopeOne algorithm. The metrics Euclidean distance, cosine coefficient and Pearson correlation coefficient, which are used to determine the user similarity coefficient in the filtering model by user similarity, are considered. Clustering algorithms such as biclasterization, DBSCAN noise clustering algorithm, and fuzzy c-means fuzzy clustering algorithm are considered as latent models. All these algorithms are designed to form data clusters according to a certain criterion. The search for associative rules is considered on the example of the Apriori algorithm, which is generated on the basis of all frequent search sets found in the database of search queries that meet the specified match criterion. To apply this algorithm, the data were reduced to a binary form and the corresponding data structure. It is concluded that each of these methods has its drawbacks and only by combining them can achieve the desired result to improve the quality of the search depending on the tasks set by the customer.

Перевагами використання машинного навчання в пошуку є те, що пошукова система може навчатися і тим самим приводити до більш персоналізованих відповідей, а не поширених результатів. У відомих пошукових системах такі алгоритми використовуються вже давно і постійно удосконалюються. У роботі на прикладах було досліджено методи і алгоритми машинного навчання, які використовуються для пошуку інформації, їх переваги і недоліки. Було обрано колоборативну фільтрацію, кластерізацію та пошук асоціативних правил. Розглянуті основні підходи колоборативної фільтрації – кореляційні і латентні моделі. В якості кореляційних моделей – фільтрацію за подібністю користувачів (user-based filtration) і фільтрація за подібністю посилань (item-based filtration). Ці моделі розглянуті на прикладах, які показують, як працюють алгоритми. Фільтрація за подібністю посилань прогнозує оцінку на основі оцінок іншого посилання та використовує регресійний аналіз або, як альтернативу, використовує спрощений предиктор, що називається алгоритмом SlopeOne. Розглянуті метрики: евклідова відстань, косинусний коефіцієнт та коефіцієнт кореляції Пірсона, що використовуються для визначення коефіцієнта подібності користувачів в моделі фільтрації за подібністю користувачів. В якості латентних моделей розглянуті алгоритми кластеризації: бікластеризація, алгоритм просторової кластеризації з присутністю шуму DBSCAN, алгоритм нечіткої кластеризації c-means. Всі ці алгоритми призначені для формування кластерів даних за визначеним критерієм. Розглянуто пошук асоціативних правил на прикладі алгоритму Apriori, що генеруються на основі всіх поширених пошукових наборів, виявлених в базі даних пошукових запитів, які задовольняють заданому критерію відповідності. Для застосування цього алгоритму дані були приведені до бінарного вигляду та відповідної структури даних. Зроблено висновки, що кожний з цих методів має свої недоліки і тільки завдяки їх комбінуванню можна досягти бажаного результату для підвищення якості пошуку в залежності від задач, які поставив замовник.

MATHEMATICAL MODEL OF THE TEMPERATURE FIELD OF A HOLLOW ROLL OF ROLLING MILL WITH DIFFERENT CONDITIONS HEAT EXCHANGE ON THE SURFACE

O. DEMYANCHENKO — 2021-10-04

The paper considers a mathematical model of radiation-convective heat transfer, which occurs during heat treatment between the roll of a roller mill and the heated metal. We consider the temperature field of a hollow cylindrical roll rotating around its axis at a constant angular velocity and heating up from a metal that has a constant temperature in the contact zone. Outside the contact zone with the metal, the roll gives off heat to its environment. A physical model of the heat transfer process is constructed, in which a thermally thin hollow cylinder is considered, the temperature field of which weakly depends on the radius of the cylinder. Outside of interaction with the metal, the roll gives off heat to the surrounding medium.

The mathematical model is considered in the form of a boundary value problem for a homogeneous heat equation with nonlinear boundary conditions in a cylindrical coordinate system. The heat source that heats up the roll body is the moving belt, which transfers heat to the outside of the roll. At the initial moment of time on the surface and at the ends of the rolls have a constant initial temperature. On the surface in the contact zone, the temperature of the roll is equal to the temperature of the metal being processed, and on the other part of the roll surface, heat exchange with the environment takes place according to the Stefan-Boltzmann law. At a significant number of revolutions, the surface temperature function becomes periodic with the period of rotation of the roll around its axis.

A simplified mathematical model of the temperature field of the section perpendicular to the axis of rotation of the hollow roll under the conditions of the above problem is considered. With such a simplification, the derivative with respect to the axial coordinate in the heat conduction equation vanishes. A method and an algorithm for solving the problem are proposed. The algorithm includes consideration of the radius-averaged temperature of the rolling mill roll. To find the temperature distribution, the solution to the boundary value problem is reduced to solving an equivalent nonlinear integral equation of the Hammerstein type with a kernel in the form of the Green's function. The Green's function is constructed in the form of a trigonometric series with coefficients - Bessel functions of the first kind of the n-th order, which is a solution to an own spectral problem with a parameter.

As a simplification, a thermally thin hollow cylinder, whose temperature field weakly depends on the radius, is considered, and a transition is made to the consideration of the averaged temperature over the radius.

A thermodynamic state is considered, which is established some time after the start of the process, as a result of which the Green's function turns out to be periodic in the angular coordinate and in time.

У роботі розглядається математична модель радіаційно-конвективного теплообміну, що виникає під час термічної обробки або пластичної деформації між валком прокатного стану та металом, що розігрівається. Розглядається температурне поле порожнистого валка циліндричної форми, що обертається навколо своєї осі із сталою кутовою швидкістю та розігрівається від металу, який має сталу температуру у зоні контакту. За межами зони контакту з металом валок віддає тепло в оточуюче їх середовище. Побудована фізична модель процесу теплообміну у якій розглянуто термічно тонкий порожнистий циліндр, температурне поле якого слабо залежить від радіуса циліндра. Джерелом тепла, що розігріває тіло валка, є рухома стрічка, яка передає тепло зовнішній поверхні валка.

Математична модель розглядається у вигляді крайової задачі для однорідного рівняння теплопровідності з нелінійними граничними умовами у циліндричній системі координат. У початковий момент часу на бічній поверхні та на основах валки мають сталу початкову температуру. На поверхні у зоні контакту температура валка дорівнює температурі металу, що обробляється, а на іншій частині поверхні валка відбувається теплообмін з оточуючим середовищем за законом Стефана-Больцмана. Показано, що при великій кількості обертів валка функція температури поверхні стає періодичною з періодом обертання валка навколо своєї осі, температурне поле стабілізується.

Розглядається спрощена математична модель температурного поля радіального перерізу валка. При такому спрощенні у рівнянні теплопровідності похідна за осьовою координатою зникає. Запропоновано метод та алгоритм розв’язання задачі. Вони включають у себе розгляд усередненої за радіусом температури валка прокатного стану. Для знаходження температурного розподілу розв’язання крайової задачі зведено до розв’язання еквівалентного їй нелінійного інтегрального рівняння типу Гаммерштейна з ядром у вигляді функції Гріна. Функція Гріна побудована у вигляді тригонометричного ряду з коефіцієнтами – функціями Бесселя першого роду n-го порядку, що є розв’язком власної спектральної задачі з параметром.

В якості спрощення розглянуто тонкий у термічному відношенні порожнистий циліндр, температурне поле якого слабо залежить від радіуса, та здійснено перехід до розгляду усередненої температури по радіусу.

Розглянуто термодинамічний стан, що встановлюється через деякий час після початку процессу, в результаті чого функція Гріна стає періодичною за кутовою координатою та за часом.

PAVEMENTS OF FPE WITH UNDERSIDE SURFACE OF PYRAMIDAL AND RIBBED ELEMENTS

V.V. DUMANSKA — 2021-10-04

When improvement of house adjoining territories, sidewalks, garden paths, parking lots and areas for various purposes, pavements of figured paving elements (FPE) made of concrete are used in large volumes. During their operation, various deformations are sometimes observed, the reasons for which may be the wrong choice of the constructive-technological solution and the low bearing capacity of the pavement. In order to prevent deformations, it is necessary to search, develop, research and further introduce into construction production new pavements of FPE with improved quality characteristics.

The article is devoted to the improvement of constructive-technological solutions of pavements, foot ways, and areas for various purposes, made of figured paving elements. Two variants of new paving elements with an underside having a modified geometric shape are proposed – with one pyramidal element located in the center, and ribbed prismatic elements located along the perimeter. Hypotheses about the advantages of the proposed FPE variants have been developed. An increase in the area of the underside will allow the external load to be transferred to a larger volume of the underlying structural layer of the pavement, which will enable the pavement to take the increased load. The shape of the underside during the installation of FPE contributes to additional compaction of the underlying sand layer and a decrease in the possibility of horizontal displacement when a horizontal load is applied to the pavement. Consequently, the quality characteristics of the proposed pavement will improve – bearing capacity and durability.

The calculation of the heights of the upper prismatic parts of the new variants of the FPE with the proposed parameters of the underside and the shape in plan, the results of which indicate their insignificant decrease relative to the height of the traditional FPE with a flat underside.

To confirm the hypotheses, the plan of experiments on the influence of a long-term vertically applied load on the FPE settlement and the density of the underlying structural layer is proposed. The factors influencing the operation of the pavement and the output parameters are selected. The necessary equipment and materials were selected.

При впорядкуванні прибудинкових територій, тротуарів, садово-паркових доріжок, автостоянок і майданчиків різного призначення у великих обсягах використовують покриття з фігурних елементів мостіння (ФЕМ), виконаних з бетону. При їх експлуатації іноді спостерігаються різні деформації, причинами яких можуть бути невірний вибір конструктивно-технологічного рішення і низька несуча здатність покриття. З метою запобігання деформацій необхідно проводити пошук, розробку, дослідження та подальше впровадження в будівельне виробництво нових покриттів із ФЕМ з поліпшеними якісними характеристиками.

Стаття присвячена удосконаленню конструктивно-технологічних рішень покриттів тротуарів, пішохідних доріжок, майданчиків різного призначення, виконаних з фігурних елементів мостіння. Запропоновано два варіанти нових елементів мостіння з нижньою основою, що має змінену геометричну форму – з одним пірамідальним елементом, розташованим в центрі, і з ребристих призматичних елементів, розташованих по периметру. Розроблено гіпотези про переваги запропонованих варіантів ФЕМ. Збільшення площі нижньої основи дозволить передавати зовнішнє навантаження на більший об’єм нижнього несучого конструктивного шару дорожнього одягу, що дасть можливість покриттю сприймати збільшене навантаження. Форма нижньої основи при влаштуванні ФЕМ сприяє додатковому ущільненню нижнього піщаного шару і зниженню можливості горизонтального зсуву у випадку прикладання горизонтального навантаження до покриття. Отже, підвищаться якісні характеристики запропонованого покриття – несуча здатність і довговічність.

Зроблено розрахунок висот верхніх призматичних частин нових варіантів ФЕМ при запропонованих параметрах нижньої основи і форми в плані, результати якого вказують на незначне їх зменшення щодо висоти традиційної ФЕМ з пласкою основою.

Для підтвердження гіпотез запропонований план проведення експериментів по впливу тривалого вертикально прикладеного навантаження на осідання ФЕМ і щільність нижнього конструктивного шару. Обрані фактори, що впливають на роботу покриття і вихідні параметри. Підібрані необхідне обладнання і матеріали.

VIBRATIONS OF STRUCTURE ELEMENTS UNDER PERIODIC LOADS WITH FLUID-STRUCTURE INTERACTION EFFECTS

Y. KONONENKO — 2021-10-04

Much of modern power equipment operates in interaction with the environment. High fluid velocities cause significant pressure on the surface of structural elements. In turn, the oscillation of the elements of machines and structures in the fluid flow leads to a change in the parameters of fluid motion. That is, there is a related problem of determining the strength and dynamic characteristics of such systems. On the one hand, the oscillations of the elastic body change the parameters of the flow, and on the other hand, the presence of the flow leads to a significant impact on the dynamic characteristics of the structure. From the point of view of mechanics, such problems can be classified as problems of interaction of various continuous environments. To describe the motion of continuous media, use general equations of motion, equations of state, conservation laws. Different continuous media differ in the different relationship between the components of stress tensors and strain or strain rate tensors. Using the method of weighted residuals, the basic relations for determining the generalized displacements are obtained. The general formulation provides for the possibility of determining the frequencies and forms of natural oscillations of the structure without taking into account the attached masses of the liquid, taking them into account, as well as to investigate the forced oscillations of structural elements taking into account and without taking into account interacting with the liquid. For a viscous compressible fluid, the formulation of the problem in the acoustic approximation is obtained. Numerical realization is carried out under the assumption of vortex-free motion of an ideal and incompressible fluid. To solve the problem of determining the pressure of a liquid, we obtain the Laplace equation with non-flow conditions as boundary conditions. The problem of determining the hydrodynamic pressure using the methods of potential theory is reduced to solving a hypersingular integral equation. The forms of natural oscillations of the structural element without taking into account the attached masses of the liquid are chosen as the basic ones for solving the problem of determining the dynamic characteristics taking into account the liquid. As an example, the natural frequencies and forms of oscillations of a round plate are considered both without taking into account the influence of the liquid, and with its taking into account. The harmonic oscillations of this plate are also investigated.

Значна частина сучасного енергетичного обладнання працює в умовах взаємодії з оточуючим середовищем. Високі швидкості рідини спричиняють появу суттєвого тиску на поверхні конструктивних елементів. В свою чергу, коливання елементів машин та споруд в потоці рідини веде до зміни параметрів руху рідини. Тобто виникає зв’язана задача визначення міцнісних та динамічних характеристик таких систем. З одного боку коливання пружного тіла змінюють параметри течії, а з іншого саме наявність течії призводить до суттєвого впливу на динамічні характеристики конструкції. З точки зору механіки, такі задачі можна класифікувати як задачі взаємодії різних суцільних середовищ. Для опису руху суцільних середовищ використовують загальні рівняння руху, рівняння стану, закони збереження. Різні суцільні середовища відрізняються різним зв’язком між компонентами тензорів напружень та тензорів деформацій або швидкостей деформацій. За допомогою методу зважених нев’язок в роботі отримані основні співвідношення для визначення узагальнених переміщень. При цьому загальне формулювання передбачає можливість визначення частот та форм власних коливань конструкції без врахування приєднаних мас рідини, з їх урахуванням, а також досліджувати вимушені коливання елементів конструкцій з урахуванням та без урахування взаємодіє з рідиною. Для в’язкої стисливої рідини отримано формулювання задачі в акустичному наближенні. Числова реалізація здійснена в припущенні безвихрового руху ідеальної та нестисливої рідини. Для розв’язання задачі з визначення тиску рідини отримано рівняння Лапласа з умовами не протікання в якості крайових. Задачу визначення гідродинамічного тиску із застосуванням методів теорії потенціалу зведено до розв’язання гіперсингулярного інтегрального рівняння. Форми власних коливань конструктивного елементу без врахування приєднаних мас рідини обрані як базисні для розв’язання задачі визначення динамічних характеристик з урахуванням рідини. Як приклад розглянуті власні частоти та форми коливань круглої пластинки як без урахування впливу рідини, та з її урахуванням. Досліджені також гармонічні коливання цієї пластинки.

THE MATHEMATICAL MODEL OF THE HEAT EXCHANGE PROCESS IN THERMOELECTRIC GENERATOR DESIGNED FOR RECOVERY OF ENERGY OF DOMESTIC HEATING OVEN

M.B. LITVINOVA — 2021-10-04

Declining stocks of fossil fuels in the world and its rise in price for consumers makes it necessary to reduce the cost of energy consumption of buildings. In Ukrainian villages, in most cases, rough heating is used. Therefore, it is important to ensure the production of electricity through the use of a thermoelectric generator (TEG), which connects to the chimney and uses the energy of flue gases. As a result, the house will generate electricity during the heating season and can be virtually independent of this type of energy.

Despite the fact that there is a significant amount of research on thermoelectric materials, the operation of various heat exchangers, different designs of TEG (including a description of the rules of their design), the mathematical model of direct use of exhaust gas energy in a household stove burning biomass is still absent. .

The paper considers a mathematical model of the heat exchange process during the use of TEG for utilization of residual energy of flue gases of a household furnace, which allows to obtain electric energy for domestic consumption.

The thermoelectric module manufactured by the Ukrainian company Altek-1024 was chosen as the basis of the generator. According to a certain design of the thermoelectric generator, a thermal calculation was performed on the basis of the heat balance equations. A system of two equations for the transfer of flue gas energy through the TEM surface was obtained. The solution of this system, taking into account the temperature dependence of the main characteristics of flue gases, such as density, specific heat, thermal conductivity, made it possible to obtain the dependence of thermal energy extraction power on the inner surface area of the generator. From the obtained dependence it follows that the use of Altek-1024 modules in the amount of 3 pieces makes it possible to extract power from the flue gases of about 1 kW. The corresponding estimated amount of electrical energy is 100 watts. This value, on average, exceeds the minimum rate of electricity consumption of an individual house.

Зменшення запасів органічного палива у світі та його подорожчання для споживачів викликає необхідність скорочення витрат на енергоспоживання будівель. В українських селах у більшості випадків використовується грубне опалення. Тому актуальним є забезпечення вироблення електричної енергії за рахунок використання термоелектричного генератора (ТЕГ), що приєднується до димоходу і використовує енергію димових газів. В результаті будинок в опалювальний сезон генеруватиме електричну енергію і може бути практично незалежним по цьому виду енергії.

Незважаючи на те, що існує значна кількість досліджень, присвячених термоелектричним матеріалам, роботі різних пристроїв теплообміну, різним конструкціям ТЕГ (включаючи опис правил їх проектування), математична модель безпосереднього використання енергії відпрацьованих газів побутової печі, в якій біомаса спалюється на відкритому вогні, досі відсутня.

В роботі розглянуто математичну модель процесу теплообміну під час використання ТЕГ для утилізації залишкової енергії димових газів побутової печі, що дозволяє одержати електричну енергію для внутрішньо-побутового споживання.

За основу генератора обрано термоелектричний модуль Альтек-1024 виготовлення української фірми. За певною конструкцією термоелектричного генератора проведений тепловий розрахунок на основі рівнянь теплового балансу. Було отримано систему двох рівнянь переносу енергії димових газів через поверхню ТЕМ. Вирішення цієї системи з урахуванням залежності від температури основних характеристик димових газів, таких як щільність, питома теплоємність, коефіцієнт теплопровідності, надало можливість одержати залежність потужності відбору теплової енергії від площі внутрішньої поверхні генератора. З одержаної залежності випливає, що застосування модулів Альтек-1024 у кількості 3 штук надає можливість відібрати із димових газів потужність біля 1 кВт. Відповідна розрахункова кількість електричної енергії складає 100 Вт. Таке значення, у середньому, перекриває мінімальну норму споживання електричної енергії індивідуального будинку.

TRANSFORMATION OF THE EMISSION OF RELATIVISTIC ELECTRONS AND METROLOGICAL CHARACTERISTICS OF THE PHOTON FLUX IN THE SYNCHROTRON RADIATION OUTLET OF "NESTOR" STORAGE RING NSC KIPT

A.S. MAZMANISHVILI — 2021-10-04

When setting up experiments involving the use of the polarization properties of synchrotron radiation (SR), a detailed calculation of the spectral angular distribution of SR and its polarization components is of interest. Taking into account the size of the beam shows that in real conditions the radiation propagating in the plane of the equilibrium orbit will not be completely polarized, and the shape and dimensions of the angular distribution of radiation will be distorted. The motion of electrons in the uniform magnetic field and SR of the beam of relativistic particles in the storage ring of the "NESTOR"NSC KIPT are considered. The influence of the size of the electron beam with the energy E=225 MeV on the formation of images of the flux of quanta of SR is analyzed. It is shown that the main contribution to the formation of images is made by the two-dimensional distribution of particles along the vertical and vertical oscillations. A software tool has been developed, the use of which made it possible to simulate the process of forming optical images by the flux of quanta of SR. The formation of images of the radiation of electrons with an energy of E=225 MeV with a change in the longitudinal distance L to the registration plane is considered. It is determined that at small longitudinal distances the main contribution to the image is made by the vertical distribution of particles in the beam. With an increase in the distance, the contribution of the distribution of particles over vertical oscillations increases, which becomes decisive for large L. Numerical simulation of image formation has been carried out. The family of angular distributions of flux density for the s- and π-components of polarization calculated for one of the SR output channels of the storage ring “NESTOR” is shown. The dependences are presented in the form of two-dimensional histograms for the length L_max = 300 cm, vertical root mean square size of the beam and different radiation wavelengths, as well as for different dispersions of the electron bunch. The dimensions of the optical window are obtained, the size of which makes it possible to reliably register the entire flux of quanta of SR for the indicated registration characteristics.

При постановці експериментів, пов'язаних з використанням поляризаційних властивостей синхротронного випромінювання (СВ), представляє інтерес детальний розрахунок спектрального кутового розподілу СВ і його поляризаційних компонент. Урахування розмірів пучка показує, що в реальних умовах випромінювання, що поширюється в площині рівноважної орбіти, не буде повністю поляризованим, а форма і розміри кутового розподілу випромінювання будуть спотворені. Розглянуто рух електронів в однорідному магнітному полі і СВ пучка релятивістських часток в накопичувачі "НЕСТОР" Національного Наукового Центру «Харківський Фізико-Технічний Інститут» (ННЦ ХФТІ). Проаналізовано вплив на формування зображень потоку квантів СВ розмірів пучка електронів з енергією Е=225 МеВ. Показано, що в формування зображень основний внесок вносить двовимірний розподіл часток по вертикалі і по вертикальним коливанням. Розроблено програмне забеспечення, використання якого дало можливість промоделювати процес формування оптичних зображень потоком квантів СВ. Розглянуто формування зображень випромінювання електронів з енергією Е=225 МеВ при зміні поздовжньої відстані L до площини реєстрації. Визначено, що на малих поздовжніх відстанях основний внесок в зображенні вносить вертикальний розподіл часток в пучку. Зі збільшенням відстані зростає внесок розподілу часток по вертикальним коливанням, який для великих L стає визначальним. Проведено чисельне моделювання формування зображень. Наведено сімейство кутових розподілів щільності потоків s- та π-компонент полярізації, розрахованних для одного з каналів виведення СВ накопичувача "НЕСТОР". Залежності оформлені у вигляді двовимірних гістограм для довжини L_max=300 см, вертикальних середньоквадратичних параметрів пучка та різних довжин хвиль випромінювання, а також для різних дисперсій електронного згустку. Отримано розміри оптичного люка, величина яких дозволяє гарантовано реєструвати весь потік квантів СВ для зазначених характеристик реєстрації.

ANALYSIS OF PROCEDURAL GENERATION METHODS FOR 3D GAME CONTENT

O.M. MIKHAILUTSA — 2021-10-04

Thanks to the powerful development of the modern gaming industry, the creation of video games is increasingly perceived by authors and users as a separate form of artistic creation. Like any other cultural industry, video games have a huge market full of publishers and developers who create high-budget products. The problems existing in the gaming industry include the speed of creating game content and the quality of processing game objects, that is, displaying the game object in the most realistic or desired form. In light of this, we can say that procedural generation is an indispensable tool in game design.

In the presented work, one of the problems of procedural generation is considered - procedural generation of premises. The first section provides an overview of some of the most current procedural content generation techniques that can be used to generate rooms and levels in video games, and analyzes methods for generating building plans automatically. In particular, well-known algorithms and approaches to using procedural generation of structures are analyzed. Based on the analysis of methods for generating houses, a tool for procedural generation of house plans with their three-dimensional display has been developed. In the implemented software system, the ability to adjust various settings of the created objects, as well as the ability to change the house models by the user, has been added. This feature of the system opens up the possibility of generating a building using the constructor method from pre-designed parts. As a result, the variability of buildings increased both externally (building shapes) and internally (floor plans), as well as significantly reduced person-hours spent on creating a more detailed game object of the building. Testing has shown that the developed software system is optimal for use in the game editing mode.

Also in the work, various methods of optimizing the display of a building in 3D are investigated and analyzed. The developed system uses such optimization methods as combining building elements into a single mesh networks, correctly creating playable modular parts of the building, as well as using the Poolobject design pattern for multiple repetitions in building houses. Based on the results of the work in the future, it is possible to accelerate the development of games, for example, to generate a procedurally created city or create city models.

Завдяки потужному розвитку сучасної ігрової індустрії створення відеоігор все частіше сприймається авторами і користувачами як окремий вид художньої творчості. Як і будь-яка інша культурна індустрія, відеоігри мають величезний ринок, повний видавців і розробників, які створюють високобюджетні продукти. До існуючих в ігровій індустрії проблем відносять швидкість створення ігрового контенту і якість обробки ігрових об'єктів, тобто відображення ігрового об'єкта в найбільш реалістичному або потрібному вигляді. У світлі цього можна сказати, що процедурна генерація - незамінний інструмент в геймдизайні.

У представленій роботі розглядається одна з проблем процедурної генерації - процедурна генерація приміщень. У першому розділі проведено огляд декількох найактуальніших методів процедурної генерації контенту, які можуть бути використані для генерації кімнат і рівнів у відеоіграх, крім того, проаналізовані методи створення планів будівель автоматичним способом. Зокрема, аналізуються відомі алгоритми та підходи використання процедурної генерації споруд. На основі проведеного аналізу методів генерування будинків розроблено інструмент для процедурного генерування планів будинків з їх тривимірним відображенням. В реалізованій програмній системі додана можливість коригувати різні настройки створюваних об'єктів, а також можливість зміни користувачем моделей будинку. Дана особливість системи відкриває можливість генерування будівлі методом конструктора з заздалегідь розроблених частин. Як наслідок, збільшилася варіативність будівель як зовні (форми будівель), так і внутрішньо (плани приміщень), а також значно зменшилися витрачені людино-години на створення більш детального ігрового об'єкта будівлі. Тестування показало, що розроблена програмна система оптимально підходить для застосування в режимі редагування гри.

Також в роботі досліджені і проаналізовані різні методи оптимізації відображення будівлі в 3D. У розробленій системі використані такі методи оптимізації, як об'єднання елементів будівлі в єдину меш-сітку, коректне створення ігрових модульних частин будівлі, а також використання патерну проектування Poolobject для багаторазового повторення в побудові будинків. На основі результатів роботи в майбутньому можливе прискорення розробки ігор, наприклад, для генерування процедурно створеного міста або створення моделей міст.

DETERMINATION AND ANALYSIS OF THE TEMPERATURE FIELD IN INHOMOGENEOUS ANISOTROPIC COVER UNDER LOCAL HEATING

R.S. MUSII — 2021-10-04

A nonstationary thermal conductivity problem is formulated for an inhomogeneous anisotropic shell, which exchanges heat with the environment according to Newton's law and is heated by nonstationary heat sources. The shell material is inhomogeneous in thickness and anisotropic with one plane of thermal symmetry.

By analogy with the theory of elasticity for shells, the spatial problem of thermal conductivity is reduced to a mathematically simpler two-dimensional problem. This simplification corresponds to the first Liav approximation and occurs for thin-walled structures. Two-dimensional equations of thermal conductivity of inhomogeneous anisotropic shells are recorded for two frequently used laws of temperature distribution over shell thickness: cubic and linear distributions.

For a shell composed of a package of rigidly interconnected homogeneous anisotropic layers of different thickness, it is assumed that the hypothesis about the nature of the temperature distribution over the thickness holds for the whole package. The thermophysical characteristics of the layered shell as a whole are given by asymmetric unit functions. For the case of such piecewise continuous inhomogeneity, the expressions of the integral characteristics of thermophysical parameters due to the physical properties of the layers are obtained.

For an inhomogeneous circular closed orthotropic cylindrical shell of finite length and constant thickness using the double-finite coordinate Fourier transform and the Laplace integral over time, the general solution of the nonstationary thermal conductivity problem is written.

The temperature field of a layered cylindrical shell of antisymmetric regular structure, the orthotropy axes of each layer of which are alternately oriented parallel and perpendicular to the coordinate axes, is investigated. The temperature distribution in the two-layer graphite-epoxy composite shell under local heating at the initial moment of time by a given temperature field and environment by convective heat exchange is numerically analyzed. The dependence of the integral characteristics of the temperature on the physical and geometrical parameters of the shell is investigated.

Сформульована нестаціонарна задача теплопровідності для неоднорідної анізотропної оболонки, яка обмінюється теплом із навколишнім середовищем за законом Ньютона та нагрівається нестаціонарними джерелами тепла. Матеріал оболонки є неоднорідним за товщиною і анізотропним з одною площиною теплової симетрії.

По аналогії з теорією пружності для оболонок просторову задачу теплопровідності зведено до математично простішої двовимірної задачі. Таке спрощення відповідає першому наближенню Лява і має місце для тонкостінних конструкцій. Записано двовимірні рівняння теплопровідності неоднорідних анізотропних оболонок для двох часто використовуваних законів розподілу температури по товщині оболонки: кубічного та лінійного розподілів.

Для оболонки, складеної з пакету жорстко з’єднаних між собою однорідних анізотропних шарів різної товщини, прийнято, що гіпотеза про характер розподілу температури по товщині виконується для всього пакету. Теплофізичні характеристики шаруватої оболонки як одного цілого подано за допомогою асиметричних одиничних функцій. Для випадку такої кусково-неперервної неоднорідності отримано вирази інтегральних характеристик теплофізичних параметрів через фізичні властивості шарів.

Для неоднорідної кругової замкненої ортотропної циліндричної оболонки скінченної довжини і сталої товщини з використанням подвійного скінченого перетворення Фур’є за координатами та інтегрального перетворення Лапласа за часом записано загальний розв’язок нестаціонарної задачі теплопровідності.

Досліджено температурне поле шаруватої циліндричної оболонки антисиметричної регулярної структури, осі ортотропії кожного шару якої почергово орієнтовані паралельно і перпендикулярно до координатних осей. Чисельно проаналізовано розподіл температури у двошаровій графітоепоксидній композитній оболонці за локального її нагрівання у початковий момент часу заданим температурним полем або довкіллям шляхом конвективного теплообміну. Досліджено залежність інтегральних характеристик температури від фізичних та геометричних параметрів оболонки.

DETERMINATION AND ANALYSIS OF THE TEMPERATURE FIELD OF A CONTINUOUS ELECTRICALLY CONDUCTIVE BALL WITH SHORT-TERM INDUCTION HEATING

R.S. MUSII — 2021-10-04

A physico-mathematical model for determining the temperature in a ball valve with short-term induction heating is proposed. The ratio of Maxwell's electrodynamics and nonstationary thermal conductivity is chosen for the initial system of equations of this model, which consists of two stages. On the basis of such relations the centrally symmetric problems of electrodynamics and thermal conductivity for a continuous electrically conductive sphere are formulated. The material of the sphere is homogeneous, isotropic and non-ferromagnetic. Its physical characteristics are assumed to be constant and equal to their average value in the considered ranges of temperature change.

At the first stage, Maxwell's relations determine the vector of magnetic field strength and Joule heat that arises in an electrically conductive sphere due to its short-term induction heating by eddy currents.

At the second stage of the heat equation, in which the heat source is the Joule heat, we find the temperature distribution in a solid sphere. The azimuthal component of the magnetic field vector and the temperature are chosen as the determining functions.

To construct solutions of the formulated initial-boundary value problems of electrodynamics and thermal conductivity, a polynomial approximation of defining functions over a radial variable is used. The approximation polynomials are chosen so as to take into account the given boundary conditions for the defining functions, both on the surface of the sphere and in its center. This made it possible to reduce the initial initial-boundary value problems to the defining functions to the corresponding Cauchy problems to the radially variable characteristics of these functions. General solutions of Cauchy problems with homogeneous nonstationary electromagnetic action are obtained.

The action of eddy currents in the unstable mode is mathematically modeled by the electromagnetic action in the mode with a pulse modular signal. This action is given by the values of the azimuthal component of the magnetic field strength vector on the surface of the sphere.

The change in Joule heat in time and temperature in the sphere depending on the amplitude-frequency characteristics of the considered unstable electromagnetic action in the mode with a pulse modular signal and the time of its duration is numerically analyzed.

Запропоновано фізико-математичну модель визначення температури у кульовому електропровідному клапані за короткочасного індукційного нагріву. За вихідну систему рівнянь даної моделі, яка складається з двох етапів, вибрано співвідношення електродинаміки Максвелла і нестаціонарної теплопровідності. На основі таких співвідношень сформульовано центрально-симетричні задачі електродинаміки і теплопровідності для суцільної електропровідної кулі. Матеріал кулі однорідний ізотропний і неферомагнітний. Його фізичні характеристики приймаються сталими і рівними їх середнім значенням в розглядуваних діапазонах зміни температури.

На першому етапі зі співвідношень Максвелла визначається вектор напруженості магнітного поля та тепло Джоуля, що виникає в електропровідній кулі внаслідок її короткочасного індукційного нагріву вихровими струмами.

На другому етапі з рівняння теплопровідності, в якому джерелом тепла є тепло Джоуля, знаходимо розподіл температури у суцільній кулі. За визначальні функції вибрано азимутальну компоненту вектора напруженості магнітного поля і температуру.

Для побудови розв’язків сформульованих початково-крайових задач електродинаміки і теплопровідності використано поліноміальну апроксимацію визначальних функцій по радіальній змінній. Апроксимаційні поліноми вибрано таким чином, щоб врахувати задані граничні умови на визначальні функції, як на поверхні кулі, так і в її центрі. Це дало змогу звести вихідні початково-крайові задачі на визначальні функції до відповідних задач Коші на інтегральні по радіальній змінній характеристики цих функцій. Отримано загальні розв’язки задач Коші за однорідної нестаціонарної електромагнітної дії.

Дію вихрових струмів в неусталеному режимі математично моделюємо електромагнітною дією в режимі з імпульсним модулівним сигналом. Дана дія задається значеннями азимутальної компоненти вектора напруженості магнітного поля на поверхні кулі.

Чисельно проаналізовано зміну в часі тепла Джоуля і температури у кулі залежно від амплітудно-частотних характеристик розглядуваної неусталеної електромагнітної дії та часу її тривалості.

NEUTRALIZATION OF STATIC ELECTRICITY IN OIL STORAGE SYSTEMS THROUGH APPLICATION OF NANOCOMPOSITES WITH CARBON FIBER INCLUSIONS

O.M. SIERIKOVA — 2021-10-04

The crusial issue today is to ensure the reliability of operation and trouble-free operation of oil storage systems. One of the main causes of explosions and fires in oil storage tanks (reservoirs) is the static electricity generated in the pipeline during the oil transportation. As a result, electrostatic charges introduced into the tank together with the oil, creating еру electric field and, respectively, the conditions for the spark breakdown of the gas space above the oil surface. Static electricity discharges in flammable environments could cause explosions and fires. It is important to create the new hybrid nanocomposite that effectively shields from electromagnetic fields, has high electrical conductivity and is mechanically strong. The paper treats the properties of composites and nanocomposites with disordered and ordered systems of carbon fiber inclusions, which could be used to neutralize static electric charges that occur in oil storage and could lead to emergencies. The series of nanocomposite materials based on epoxy matrix with carbon fillers of different placement methods has been studied. The dependence of the strength characteristics of the nanocomposite material on the method of placing carbon nanofillers, as well as the level of filling the matrix with inclusions has been found and investigated with the help of the software package. It has been established that the filler use in the form of carbon fibers demonstrates the growth of material strength characteristics in the direction of the fibers. Complete structured ordering of nanofibers further increases the strength properties in the main direction of the fibers location, but does not significantly reduce the strength characteristics in the other two directions. The results of research prove that the use of carbon nanofibers to create the high-quality nanocomposite is appropriate and could be used to neutralize static electric charges that occur in oil storage and could lead to emergencies.

Найважливішою на сьогоднішній день залишається проблема забезпечення надійності експлуатації та безаварійності роботи систем зберігання нафти. Однією з основних причин виникнення вибухів і пожеж в нафтосховищах (резервуарах) є заряди статичної електрики, що утворюються в трубопроводі в процесі транспортування нафти. В результаті вносяться разом з нафтою в резервуар електростатичні заряди, що створюють електричне поле і, відповідно, умови для виникнення іскрового пробою газового простору над поверхнею нафти. Розряди статичної електрики в легкозаймистих середовищах можуть ставати причиною вибухів і пожеж. Важливим є створення нового гібридного нанокомпозиту, що ефективно екранує від електромагнітних полів, має високу електропровідність та є механічно міцним. В роботі досліджено властивості композитів та нанокомпозитів із невпорядкованими та впорядкованими системами вуглецевих волокнистих включень, що можуть використовуватись для нейтралізації статичних електричних зарядів, які виникають в нафтосховищах та можуть призвести до виникнення надзвичайних ситуацій. Досліджено серію нанокомпозитних матеріалів на основі епоксидної матриці з вуглецевими наповнювачами різного способу розміщення. За допомогою програмного комплексу знайдено і досліджено залежність міцнісних характеристик нанокомпозитного матеріалу від способу розміщення вуглецевих нанонаповнювачів, а також рівня заповнення матриці включеннями. Встановлено, що застосування наповнювача у вигляді вуглецевих волокон демонструє зростання міцнісних характеристик матеріалу в напрямку волокон. Повне структуроване впорядкування нановолокон ще більше підвищує міцнісні властивості в головному напрямку розташування волокон, однак несуттєво знижує міцнісні характеристики в двох інших напрямках. Результати досліджень доводять, що застосування вуглецевих нановолокон для створення якісного нанокомпозиту є доцільним та його можливо використовувати для нейтралізації статичних електричних зарядів, які виникають в нафтосховищах та можуть призвести до виникнення надзвичайних ситуацій.

SOME GOING IS NEAR RESEARCH OF DEFORMATION OF FLEXIBLE CYLINDRICAL SHELLS

O.V. TUMASHOVA — 2021-10-04

In this work offered approach near the numeral decision of two-dimensional nonlinear regional tasks, that is based on application of close analytical by the Vlasov-Kantorovich method, method of linearization of unidimensional nonlinear regional tasks and numeral method of the discrete orthogonalizing of decision of linear regional tasks. Authenticity of results of decision of this class of tasks is investigated with the aim of approbation of the Vlasov-Kantorovich method. Offered approach near the numeral decision of regional tasks that describe geometrically nonlinear deformation of declivous cylindrical panels at the power loading with in-out parameters. Influence of different variants of maximum terms is investigated on the curvilinear edges of panel and partition of load along of sending to her deformation. With the aim of approbation of the Vlasov-Kantorovich method, on the base of the built exact analytical decision of nonlinear regional task will conduct comparison of decision the Vlasov-Kantorovich method of task about deformation of circular infinitely long cylindrical panel of permanent thickness depending on the number of the retained members of row in a time-table. For this purpose the decision of task is considered about deformation of circular infinitely long cylindrical panel of permanent thickness, that is under the action of the external loading of q along directing of y. For comparison of results of decision of task at application of the Vlasov-Kantorovich method, members of row, of retained in a time-table got at a different number deformation of flexible cylindrical panel of complete sizes is considered under the action of the external loading of q. Tables over of dependence of peak values are brought for bending of w in the center of panel, on the basis of nonlinear theory, from loading at the different values of parameter of q. Influence of maximum terms is investigational on the curvilinear edges of circular cylindrical panel of complete sizes and permanent thickness of h under the action of the superficial loading of q. Tables over of dependence are brought values for bending of w in the center of panel, on the basis of nonlinear theory, from loading at the different values of parameter of q. Influence of maximum terms is investigational on the curvilinear edges of колової cylindrical panel of complete sizes and permanent thickness of h under the action of the superficial loading of q. Tables over of dependence of peak values are brought for bending of w in the center of panel, on the basis of linear and nonlinear theory, from loading at the different values of parameter of q and for the different variants of maximum terms. The tables of parameter tensions are brought around to the external and internal surfaces of shell in the geometrically nonlinear raising.

У даній роботі запропонований підхід до чисельного розв’язку двовимірних нелінійних крайових задач, який базується на застосуванні наближеного аналітичного методу Власова-Канторовича, методу лінеарізації одновимірних нелінійних крайових задач та чисельного методу дискретної ортогоналізації розв’язку лінійних крайових задач. Досліджується достовірність результатів розв’язку даного класу задач з метою апробації методу Власова-Канторовича. Запропонований підхід до чисельного розв’язку крайових задач, які описують геометрично нелінійну деформацію пологих циліндричних панелей при силових навантаженнях зі змінними параметрами. Досліджується вплив різних варіантів граничних умов на криволінійних краях панелі і розподілу навантаження вздовж напрямної на її деформацію. З метою апробації методу Власова-Канторовича на базі побудованого точного аналітичного розв'язку нелінійної крайової задачі проведемо співставлення розв’язку методом Власова-Канторовича задачі про деформацію колової нескінченно довгої циліндричної панелі сталої товщини в залежності від числа утримуваних членів ряду в розвиненні. Для цього розглянуто розв’язок задачі про деформацію колової нескінченно довгої циліндричної панелі сталої товщини, яка знаходиться під дією зовнішнього навантаження q вздовж напрямної y. Для порівняння результатів розв’язку задачі при застосуванні методу Власова-Канторовича, отриманих при різному числі членів ряду,що містяться в розвиненні, розглянуто деформацію гнучкої циліндричної панелі скінченних розмірів під дією зовнішнього навантаження q. Наведено таблиці залежності амплітудних значень для прогину w в центрі панелі, на основі нелінійної теорії, від навантаження за різних значень параметра q. Досліджено вплив граничних умов на криволінійних краях колової циліндричної панелі скінченних розмірів і сталої товщини h під дією поверхневого навантаження q. Наведено таблиці залежності амплітудних значень для прогину w в центрі панелі, на основі лінійної і нелінійної теорії, від навантаження за різних значень параметра q і для різних варіантів граничних умов. Наведено таблиці значень напружень на зовнішній і внутрішній поверхнях оболонки в геометрично нелінійній постановці.

DETERMINATION OF OPTIMAL PARAMETERS OF PHOTOCATALYTIC DESTRUCTION OF METHYLENE BLUE IN THE PRESENCE OF MAGNETITE

L.A. FROLOVA — 2021-10-04

The use of mathematical modelling for the development of new technologies for wastewater treatment is very The use of mathematical modelling for the development of new technologies for wastewater treatment is very important because it allows to reduce the number of experiments, to determine the optimal process conditions, to build a mathematical model. Multifactor dependencies, which, for example, are obtained using experimental planning methods, are powerful statistical tools that allow to determine the total impact of the studied variables, which can be estimated simultaneously, to statistically process the results to be used, to optimize using mathematical models to obtain the best experimental conditions for the purification process.

To assess the influence of selected factors, the method of central compositional planning of the experiment was used. The effect of parameters such as photocatalyst concentration (x₁), H₂O₂ volume (x₂) and UV treatment time (x₃) on the degradation of methylene blue (MB) was determined.

The presented results show that magnetite is an effective catalyst for the decomposition of MB under the action of UV radiation.

Is established that most effects are statistically significant for the response function. High values of the coefficients at x₃, x₁, x₂ indicate that they are the most influential in the process of photocatalytic destruction. The coefficient at x₃ not only has the highest value of all effects, but is also about 2 times greater than the coefficient at x₁. The coefficients corresponding to the interactions x₁x₂(1.32) and x₁x₃ (5.24) are represented by values that are 5,84 and 1.5 times less than the coefficient at x₃.

The value of the of determination coefficient (R²) is approximately 0.998, which confirms the adequacy of the quadratic model, which represents the relationship between independent factors and the response function. High values of coefficients in linear terms (x₂, x₃) in comparison with other coefficients mean that they are the most influential in the equation.

It was found that increasing the processing time led to an increase in the degree of degradation of MB The effect of the concentration of hydrogen peroxide and catalyst is extreme. The significance of the factors varies as follows: t_treat> m_kat> V_n2o2.

In addition, analysis of variance showed consistency between experimental data and theoretically determined, i.e. the obtained mathematical model is adequate.

Використання математичного моделювання для розробки нових технологій очищення стічних вод є дуже важливим, оскільки дає змогу скоротити кількість дослідів, визначити оптимальні умови процесу, побудувати математичну модель. Багатофакторні залежності, які, наприклад, отримують за допомогою методів планування експерименту – це потужні статистичні інструменти, які дозволяють визначити сумарний вплив досліджуваних змінних, який можливо оцінювати одночасно, провести статистичну обробку результатів, що будуть використані, проводити оптимізацію з використанням математичних моделей, щоб отримати найкращі експериментальні умови проведення процесу очищення.

Для оцінки впливу обраних факторів використовувався метод центрального композиційного рототабельного планування експерименту. Визначали вплив таких параметрів, як концентрація фотокаталізатора (x₁), об’єм Н₂О₂ (x₂) та час обробки УФ опроміненням (x₃) на деградацію метиленового синього(МС).

Представлені результати показують, що магнетит є ефективним каталізатором розкладу МС під дією УФ-випромінювання. Встановлено, що більшість ефектів є статистично значущими щодо функції відгуку. Високі значення коефіцієнтів при x₃, x₁, x₂ вказують на те, що вони є найбільш впливовими на процес фотокаталітичної деструкції. Коефіцієнт при x₃ не тільки має найвище значення з усіх ефектів, але й приблизно в 2 рази більше, ніж коефіцієнт при x₃. Коефіцієнти відповідні взаємодіям x₁x₂ (1,32) і x₁x₃ (5,24) представлені значеннями, що в 5,84 і 1,5 разів менше відносно коефіцієнту при x₃.

Значення коефіцієнта детермінації (R²) становить приблизно 0,998, що підтверджує тісний взаємозв'язок між незалежними факторами і функцією відгуку. Високі значення коефіцієнтів в лінійних доданках (x₂, x₃) в порівнянні з іншими коефіцієнтами означають, що вони є найбільш впливовими у рівнянні.

Встановлено, що підвищення часу обробки призводить до збільшення ступеню деградації МС. Вплив концентрації перекису водню та каталізатору має екстремальний характер. Значимість факторів змінюється наступним чином: t_об> m_адс> V_н2о2.Крім того, дисперсійний аналіз показав узгодженість між експериментальними даними та теоретично визначеними, тобто отримана математична модель адекватна.

MODELLING OF COMPUTATIONAL 2D-TEMPLATES AND CUBATURES AS THE PROBLEMS OF SYSTEM ANALYSIS

А.N. KHOMCHENKO — 2021-10-04

Numerical integration is becoming an increasingly important procedure in the modern method of finite elements (MFE). It is clear that the overwhelming majority of known cubatures is associated with triangles and squares. Unfortunately, not all cubatures are suitable for practical use. For example, there are cubatures with negative weight number. According to modern American mathematicians G. Strang and J. Fix, the problem of constructing the cubatures even on triangular and square patterns remains relevant. To obtain new cubatures pseudo-random numbers and the Monte-Carlo quasi-method are used.

By the example of well-known systems of triangular and square Pythagorean numbers in the 50s of the twentieth century the systems of triangular and square computational templates and corresponding cubatures appeared in the MFE. The peculiarity of system analysis is that on one template there may be several alternative cubatures within the law of conservation of weight balance. In these cases the problem of segment testing of new bases (for compatibility) arises. Efforts spent to stratify the selection result in improved quality of evaluation.

The paper considers systems of computational 2D-templates which are formed following the example of arithmetic systems and geometry of triangular and square Pythagorean numbers. The purpose of the study is to illustrate the possibilities and advantages of the procedure of stratification of selective applicates, to emphasize the important role of centered models (with integration node in the barycenter of a triangle, square) on the examples of computational 2D-templates and random cubatures. The study found the following: if the number of integration nodes and their location was recorded, it is necessary to find out which criterion should be used to determine the coefficients of the linear combination of applicates. In the system of alternative cubatures none of the stratification criteria has a significant advantage over the others. For each criterion one can choose an example in which it will be the best. To find the most effective cubature for a particular task a special analysis is required.

Численне інтегрування стає все більш важливою процедурою в сучасному методі скінченних елементів (МСЕ). Зрозуміло, що переважна більшість відомих кубатур асоціюється з трикутниками і квадратами. На жаль, не всі кубатури придатні для практичного використання. Наприклад, є кубатури з від’ємними ваговими коефіцієнтами. На думку сучасних американських математиків Г. Стренга і Дж. Фікса, проблема конструювання кубатур навіть на трикутних та квадратних шаблонах лишається актуальною. Щоб отримати нові кубатури, використовуються псевдовипадкові числа і квазіметод Монте-Карло.

На зразок відомих систем трикутних і квадратних чисел Піфагора у 50-ті роки двадцятого століття в МСЕ виникли системи трикутних і квадратних обчислювальних шаблонів та відповідних кубатур. Особливість системного аналізу полягає в тому, що на одному шаблоні може існувати декілька альтернативних кубатур в межах закону збереження вагового балансу. В цих випадках постає проблема сегментного тестування нових базисів (на сумісність). Зусилля, що затрачені на стратифікацію вибірки, обертаються покращенням якості оцінки.

У роботі розглядаються системи обчислювальних 2D-шаблонів, які утворені на зразок арифметичних систем і геометрії трикутних і квадратних чисел Піфагора. Мета дослідження – на прикладах обчислювальних 2D-шаблонів і випадкових кубатур проілюструвати можливості і переваги процедури стратифікації вибіркових аплікат, підкреслити важливу роль центрованих моделей (з вузлом інтегрування в барицентрі трикутника, квадрата). В результаті дослідження з’ясувалося: якщо зафіксовано кількість вузлів інтегрування та їх розташування, то необхідно з’ясувати, яким критерієм скористатися для визначення коефіцієнтів лінійної комбінації аплікат. В системі альтернативних кубатур жоден із критеріїв стратифікації не має помітної переваги над іншими. Для кожного критерію можна підібрати приклад, в якому він буде кращим. Щоб знайти найбільш ефективну кубатуру для конкретної задачі потрібен спеціальний аналіз.

USING MACHINE LEARNING TO PREDICT THE STRESS-STRAIN STATE OF A CIRCULAR PLATE

O.V. CHOPOROVA — 2021-10-04

Artificial neural networks are used in various areas related to information processing. For example, in such areas as: pattern recognition, optimization problems, control theory, engineering design problems, extrapolation and forecasting. There is a large amount of software that uses the capabilities of artificial neural network technology. In modern production, computer-aided design systems have become widespread, which allow to design technological processes with less time and money, with increasing accuracy of the designed processes and processing programs.

The development of machine learning methods and models allows you to make quick estimates of the necessary parameters of the state of the object. From a practical point of view, machine learning models for predicting the values of structural parameters can serve as interactive assistants in the design process. One of the topical issues in the application of neural networks is their structural optimization, the choice of the optimal number of layers, neurons, activation functions and so on. In this paper, the use of machine learning to predict the stress-strain state of a circular plate is considered. An algorithm for generating circular plate parameters has been developed. A model of an artificial neural network for predicting the stress-strain state of a circular plate is constructed. The test sample, which contains the possible states of the plate depending on the geometric and mechanical parameters, was constructed using analytical formulas and the finite element method. Learning models based on artificial neural networks are built. The constructed models allow predicting the deflection in the center of the plate, as well as the maximum value of the stress intensity according to Mises. The main advantage of an artificial neural network is the speed of prediction. The calculation of the required characteristics is almost instantaneous (milliseconds). Thus, "trained" artificial neural networks can serve as interactive assistants in the design process.

Штучні нейронні мережі застосовуються у різноманітних сферах, пов’язаних з обробкою інформації. Наприклад, в таких галузях як: розпізнавання образів, задачі оптимізації, теорія керування, вирішення інженерних задач проектування, екстраполяція та прогнозування. Існує велика кількість програмного забезпечення, що використовує можливості технологій штучних нейронних мереж. У сучасному виробництві широке поширення одержали системи автоматизованого проектування, які дозволяють проектувати технологічні процеси з меншими витратами часу та засобів, зі збільшенням точності спроектованих процесів і програм обробки.

Розробка методів і моделей машинного навчання дозволяє робити швидкі оцінки необхідних параметрів стану об’єкту. З практичної точки зору моделі машинного навчання для прогнозування значень параметрів стану конструкції можуть слугувати як інтерактивні асистенти у процесі проектування. Одним із актуальних питань застосувань нейронних мереж є їх структурна оптимізація, тобто, вибір оптимальної кількості шарів, нейронів, функцій активації тощо. У даній роботі розглянуто використання машинного навчання для прогнозування напружено-деформованого стану круглої пластинки. Розроблено алгоритм генерації параметрів круглої пластинки. Побудовано модель штучної нейронної мережі для прогнозування напружено-деформованого стану круглої пластинки. Тестову вибірку, яка містить можливі стани пластинки у залежності від геометричних і фізико-механічних параметрів, побудовано з використанням аналітичних формул і методу скінченних елементів. Побудовано моделі навчання на базі штучних нейронних мереж. Побудовані моделі дозволяють прогнозувати прогин у центрі пластинки, а також максимальне значення інтенсивності напружень за Мізесом. Основною перевагою штучної нейронної мережі є швидкість прогнозування. Обчислення необхідних характеристик відбувається майже миттєво (мілісекунди). Отже, «натреновані» штучні нейронні мережі можуть слугувати як інтерактивні помічники у процесі проектування.