CONOID MODELS AND METHOD OF CROSS SECTIONS

Анотація

The article is devoted to the study of new specific properties of conoids - linear surfaces of Catalan (1843), which are used in the modern method of finite elements (MFE). Conoids appeared in the MFE unexpectedly when, in 1968, Ergatoudis, Irons, and Zienkiewicz constructed by selection the first serendipity finite elements (CEs): the bilinear Q4, the biquadratic Q8, and the bicubic Q12. Conoids are used as basic functions (influence functions) in all (without exception) models of standard serendipity FE, despite the unnatural spectra of equivalent nodal loads (physical inadequacy). It is the conoids, which are associated with the intermediate interpolation nodes, caused the negative loads in the angular nodes of the FE. The most authoritative specialist prof. O. Zienkiewicz advised to accept this flaw. It is possible to get rid of physical inadequacy in angular nodes if one refuses conoids in intermediate nodes. But such serendipity FEs belong to alternative models already. It should be noted that conoids are used not only in MFE. Technological and aesthetic qualities of conoids have long attracted architects and builders. It is necessary to find such conoids, which provide physical adequacy of models. Attention should be paid to trigonometric conoids, which are insufficiently studied. Previous studies show that the body formed by the conoid and the carrier may be Simpson one. Replenishment of the model range of Simpson bodies is an interesting independent task. However, the rule of three sections (Simpson's cubature) does not always give the correct answer on conoids. The main thing is to calculate properly the area of ​​the middle cross-section of the correctly selected three cross-sections. This task has an independent meaning. Selected examples of conoids make it possible to compare simple and clear approaches with the Monte-Carlo procedure. Cognitive and graphical analysis is the best information technology, especially in combination with computer experiments.

Стаття присвячена дослідженню нових специфічних властивостей коноїдів – лінійчатих поверхонь Каталана (1843), які застосовуються в сучасному методі скінченних елементів (МСЕ). Коноїди з’явилися в МСЕ несподівано, коли у 1968 р. Ергатудіс, Айронс і Зенкевич сконструювали підбором перші серендипові скінченні елементи (СЕ): білінійний Q4, біквадратичний Q8 і бікубічний Q12. Коноїди застосовуються у якості базисних функцій (функцій впливу) у всіх (без винятку) моделях стандартних серендипових СЕ, незважаючи на неприродні спектри еквівалентних вузлових навантажень (фізична неадекватність). Саме коноїди, які асоціюються з проміжними вузлами інтерполяції, спричинили появу від’ємних навантажень у кутових вузлах СЕ. Найавторитетніший фахівець проф. О. Зінкевич радив змиритися з цим недоліком. Позбутися фізичної неадекватності в кутових вузлах можна, якщо відмовитись від коноїдів в проміжних вузлах. Але такі серендипові СЕ вже належать до альтернативних моделей. Варто зауважити, що коноїди використовують не тільки в МСЕ. Технологічні та естетичні якості коноїдів давно приваблюють архітекторів і будівельників. Потрібно знайти такі коноїди, які забезпечують фізичну адекватність моделей. Треба звернути увагу на тригонометричні коноїди, які недостатньо досліджені. Попередні дослідження свідчать, що тіло, яке утворюється коноїдом і носієм, може бути сімпсоновим. Поповнення модельного ряду сімпсонових тіл – цікава самостійна задача. Але на коноїдах правило трьох перерізів (кубатура Сімпсона) не завжди дає правильну відповідь. Головне – правильно обчислити площу середнього перерізу правильно вибраної трійки перерізів. Ця задача має самостійне значення. Підібрані приклади коноїдів дають можливість порівняти прості і наочні підходи з процедурою Монте-Карло. Когнітивно-графічний аналіз – найкраща інформаційна технологія, особливо у поєднанні з комп’ютерними експериментами.