MATHEMATICAL MODEL AND METHOD OF SOLVING THE GENERALIZED NEYMAN PROBLEM OF HEAT EXCHANGE OF PARABOLOID OF ROTATION

Abstract

Currently insufficiently studied the distribution of temperature fields in the workpieces with a new method of heating, carried out by rotating the workpieces in a magnetic field of direct current, which is created in exciters with superconducting windings without knowledge of which it is impossible to implement its technical implementation with high technical and economic performance. A small number of scientific papers are devoted to the study of electromagnetic and thermal phenomena inside the workpiece during its rotation in a magnetic field of direct current. Therefore, the task of developing mathematical methods for modeling temperature fields in workpieces during induction heating of metal using innovative technology, the solution of which is devoted to this work, is very important. The article constructs a new generalized spatial mathematical model for calculating temperature fields in workpieces, in the form of a paraboloid of rotation rotating at a constant angular velocity, taking into account the finite velocity of heat propagation as a boundary value problem of mathematical physics, and finding solutions to the boundary value problem. For the first time, a mathematical model for calculating temperature fields in a paraboloid of rotation, taking into account the finite velocity of rotating heat, is constructed as a boundary value problem of mathematical physics for hyperbolic equations of thermal conductivity with Neumann boundary conditions. An integral transformation for a two-dimensional finite space is constructed, using which the temperature field is found in the form of convergent series by Fourier functions. The solution of the generalized boundary value problem of heat exchange of a rotating paraboloid, taking into account the finiteness of the value of heat propagation, can be used to modulate the temperature fields arising from induction heating by rotating the workpieces in a magnetic field of direct current generated in the excitation. with superconducting windings.

В даний час недостатньо  вивчені питання про розподіл температурних полів  в заготовках при новому способу нагрівання, що здійснюється шляхом обертання заготовок в магнітному полі постійного струму, який створюється у збудниках з надпровідними обмотками, без знання яких неможливо здійснити його технічну реалізацію з високими техніко-економічними показниками. При цьому невелике число наукових робіт присвячено дослідженням електромагнітних і теплових явищ всередині заготовки при її обертанні в магнітному полі постійного струму. Тому вельми актуальною є задача розробки математичних методів моделювання температурних полів в заготовках при індукційному нагріву металу з використанням інноваційної технології, розв’язанню якої присвячена ця робота. В статті  побудована нова узагальнена просторова математична модель розрахунку температурних полів в заготовках у вигляді параболоїда обертання, що обертається з постійною кутовою швидкістю, з урахуванням кінцевої швидкості поширення тепла у вигляді крайової задачі математичної фізики, а також знаходження розв’язків отриманої крайової задачі. Вперше побудована математична модель  розрахунку полів температури в параболоїді обертання, який обертається, з урахуванням кінцевої швидкості поширення тепла, у вигляді крайової задачі математичної фізики для гіперболічного рівняння теплопровідності з граничними умовами Неймана. Побудоване інтегральне перетворення для двовимірного  кінцевого  простору, із застосуванням якого  знайдено температурне поле у вигляді збіжних рядів по функціям Фур’є. Знайдений розв’язок узагальненої крайової задачі теплообміну  параболоїда обертання, який обертається, з урахуванням скінченності величини швидкості поширення тепла, може знайти застосування при моделюванні температурних полів, які виникають при індукційному нагріві, що здійснюється шляхом обертання заготовок в магнітному полі постійного струму, який створюється у збудниках з надпровідними обмотками.