RELATIONSHIP OF THE SYMMETRY GROUP OF THE ORNAMENT ON THE SKETCH OF M. C. ESHER’S SKETCH ‘SEAHORSES’ WITH THE MOTIONS OF THE PLANE DESCRIBING THE CONSTRUCTION OF ITS FIGURED TILE

Abstract

The first thing that catches your eye when you look at the of M. C. Escher’s sketch ‘Seahorses’ is its special feature, which consists in the fact that if you take any zoomorphic form for the original, then in order to get its copies, you need to complete the central symmetries of the original and its translations, with translations being carried out in six directions. We assume that the same central symmetries and translations are related to individual parts of the zoomorphic contour, which completely filling the plane. Our assumption is based on the fact that the connection between the group of symmetry of the ornament and the group of movements of the plane, describing the construction of figured tiles that fill the plane without overlaps and gaps, was discovered by us both in the M. C. Escher’s print ‘Horsemen’, and in his lithograph “Reptiles”.

Thus, our purpose is to classify the ornaments according to the crystallographic symmetry groups on the plane, discovered by the Russian scientist E. S. Fyodorov, and to connect the symmetry groups of the ornaments with the groups of plane movements describing the construction of their repeating figures.

A rule is proposed for constructing figured tiles that stylize images of plants and animals and fill the plane without overlaps and gaps by translations and rotations of its repetitions, in particular, figured tile that generalize the image of a zoomorphic form on the M. C. Escher’s sketch “Seahorses”. The proposed rule was applied to compose an ornament stylizing the M. C. Escher’s sketch “Seahorses”. It is shown that this ornament has set of centers of symmetry and six translation vectors. The connection between the symmetry group of the ornament and the movements of the plane, leading to the formation of its figured tiles was revealed. It is shown that if any group of plane transformations corresponds to any figure, then the ornament obtained by translations and rotations of its repetitions will correspond to the same group of transformations of the plane. It is assumed that the subject of further research will be the application of one of the crystallographic symmetry groups of E. S. Fyodorov to the construction of a figured tile stylizing a zoomorphic shape on one of M. C. Escher’s prints.

Перше, що кидається в очі, коли розглядаєш ескіз М. К. Ешера «Морські коники», - її особливість, яка полягає в тому, що якщо прийняти будь-яку зооморфну форму за оригінал, то, щоб отримати її копії, необхідно виконати центральні симетрії оригіналу та його паралельні перенесення, причому паралельні перенесення здійснюються в шести напрямках. Ми припускаємо, що такими ж центральними симетріями і паралельними перенесеннями пов’язані між собою окремі частини контуру зооморфної форми, що цілком заповнює площину. Наше припущення ґрунтується на тому, що зв’язок між групою симетрії орнаменту і групою рухів площині, яка описує побудову фігурних плиток, що заповнюють площину без накладень і пропусків, була виявлена нами і в гравюрі М. К. Ешера «Вершники», і в його літографії «Ящірки».

Таким чином, наша мета полягає в тому, щоб класифікувати орнаменти за кристалографічними групами симетрії на площині, відкритими російським вченим Є. С. Федоровим, і зв’язати групи симетрії орнаментів з групами рухів площині, що описують побудову їх фігур, що повторюються.

Запропоновано правило побудови фігурної плитки, що стилізує зображення рослин і тварин і заповнює площину без накладень і пропусків при паралельних перенесеннях і обертаннях її повторень, зокрема фігурної плитки, що узагальнює зображення зооморфною форми на ескізі М. К. Ешера «Морські коники». Запропоноване правило було застосовано для побудови орнаменту, що стилізує ескіз М. К. Ешера «Морські коники». Показано, що даний орнамент має множину центрів симетрії і шість векторів трансляції. Виявлено зв’язок між групою симетрії орнаменту і рухами площині, що приводять до утворення його фігурної плитки. Показано, що якщо будь-якій фігурі відповідає будь-яка група перетворень площини, то такій же групі перетворень площини буде відповідати орнамент, отриманий паралельними переносами і обертаннями її повторень. Припущено, що предметом подальших досліджень буде застосування однієї з кристалографічних груп симетрії Є. С. Федорова до побудови фігурної плитки, що стилізує зооморфну форму на одній з гравюр М. К. Ешера.