THE CHROMATIC NUMBER OF THE FUNCTION

Abstract

The construction of the mathematical objects of the group structure on the set which is under the study and the use of the properties of this structure is one of the effective methods of the study. The concept of homomorphism is one of the basic concepts of group theory. This concept is very useful under the study of the properties of the groups. Homomorphism is the mapping from one group to another which preserves the group operation. An analogue of the concept of homomorphism in the case when an arbitrary everywhere defined mapping  is given instead of the group operation has been constructed by the authors. The case when  and  have been studied in details in the article. The concept of the chromatic number of this mapping and the examples of its calculation have been given. The examples of the chromatic numbers of the certain groups have been given with the necessary explanations. The concept of the chromatic number of the real numerical function has been introduced. It has been shown that this concept is closely linked to the concept of V.L. Rvachev  - function. It has been shown, using the known results, that the functions with the infinite chromatic numbers exist. The examples of the chromatic numbers for the certain functions have been given with the necessary explanations. The main result of this article is the proof of the fact that the linear function of two real variables  has no finite chromatic number. The similar result has been proved for the function  of two real variables. Thus, the set  can not be colored into the finite number of the colors in such a way that the color of the value of the function , where  is uniquely determined by the colors of its arguments. The same fact is true for the function  and , where . The obtained result can be formulated in terms of  - function as follows:

the functions  and  (as well as the function  under ) can not be  - function at any choice of the accompanying functions of multiple-valued logic.

Thus, the concepts of the chromatic class of the function and the chromatic number of the function have been introduced in the given article. The relation between the obtained concepts and group theory has been found. It has been demonstrated that the concept of the chromatic number of the function on the certain set is closely linked to the concept of V.L. Rvachev  - function. It has been pointed out that the fact that the chromatic numbers and the chromatic classes coincide for the isomorphic groups can be used under proving of the nonisomorphy of the groups.

Побудова на досліджуваній множині математичних об'єктів групової структури і використання її властивостей є одним з ефективних методів дослідження. Одним з центральних понять теорії груп є поняття гомоморфізму, яке виявляється дуже корисним при вивченні властивостей груп. Гомоморфізм - це відображення з однієї групи в іншу, яке зберігає групову операцію. У даній статті авторами побудований аналог поняття гомоморфізму на випадок, коли замість групової операції задається довільне, усюди визначене відображення . У статті докладно розглядається випадок, коли  і . Дається визначення хроматичного числа цього відображення і наводяться приклади його обчислення. Наведені приклади хроматичних чисел деяких груп з необхідними поясненнями. Введено поняття хроматичного числа дійсної числової функції і показано, що це поняття тісно пов'язане з поняттям - функції В.Л. Рвачева. Спираючись на відомі раніше результати, показано, що існують числові функції з нескінченними хроматичними числами. Для прикладу наведено хроматичні числа деяких функцій, дані пояснення отриманих результатів. Основним результатом цієї статті є доведення того факту, що лінійна функція двох дійсних змінних  не має скінченого хроматичного числа. Аналогічний результат доведений для функції  двох дійсних змінних. Таким чином, множину  неможна розфарбувати в скінчене число кольорів так, щоб колір значення функції , де  однозначно визначався кольором її аргументів. Те ж стосується функцій  і , де . У термінах - функцій отриманий результат можна сформулювати наступним чином:     функції  і  (як і функція  при ) не можуть бути - функціями ні при якому виборі супроводжуючих функцій багатозначної логіки. Таким чином, в даній статті введено поняття хроматичного класу і хроматичного числа функції. Знайдено зв'язок між отриманими поняттями і теорією груп. Продемонстровано, що поняття хроматичного числа функції на деякій множині тісно пов'язане з поняттям - функції В.Л. Рвачева. Відзначено, що для доведення неізоморфності груп можна використовувати той факт, що для ізоморфних груп хроматичні числа і хроматичні класи, до яких вони належать, збігаються.