ANALYSIS OF THE QUEUEING SYSTEMS AT JUMPING VARIABLE INFORMATION FLOW INTENSITY

Abstract

This paper presents an analytical approach to the analysis of a multi-channel queuing system with losses without buffering, both for transient and stationary modes. It is considered the M|M|2 system as an example. Such a system is described as a three-state birth-and-death process. For this system the system of Kolmogorov equations is compiled and the fundamental matrix of the Kolmogorov equation system is found for two cases. In the first case arrival and service rates are constant and in the second case the ones change abruptly at some moments of time. Numerical calculations are carried out on the example of the model of the data transmission network switch connected to another network switch via two Ethernet channels. The throughput of each channel is 100 Mbps. The transient mode of the system is analyzed for three cases. In the first case, the arrival rate is lower than the service rate; in the second case, the arrival rate of packets is equal to their service rate, and in the third case, the arrival rate is greater than the device service rate. For each case, the probabilities of the system states are found, including the probabilities of packet loss and the transient time. It is shown that with an increase in the intensity of the input traffic, the transient time decreases, and the probability of packet loss increases. So, with an increase in the arrival rate up to 10 times, the probability of packet loss is 82%, and the transient time is 0.0001 s, which is 6 times less than the transient time under normal network operation when the intensity of incoming flows λ is less than the service intensity μ. The probabilities of the system states after jumps of the intensity of the input traffic are calculated. The cases of one and two jumps are considered. Under the influence of the first jump, when the arrival rate increases sharply from  packets/s to  packets/s, the probability of packet loss increases to 82%. With a sharp decrease in the intensity of arrival rate to the initial value at the next moment in time, the probability of packet loss decreases to 8% again. The probabilities of the system states at jumps in the intensity of the input traffic are calculated. It is shown that in the stationary mode, after the system is restored, these probabilities are determined only by the parameters of the system after all jumps.

У даній роботі наведено аналітичний підхід до аналізу багатоканальної системи масового обслуговування з втратами без очікування як в перехідному, так і в стаціонарному режимах роботи на прикладі системи М|М|2. Така система описується процесом загибелі та розмноження з трьома станами. Для даної системи складена система рівнянь Колмогорова і знайдена фундаментальна матриця системи для випадку з постійними інтенсивностями потоків та інтенсивностями потоків, що змінюються стрибком в деякий момент часу. Числові розрахунки проведені на прикладі моделі комутатора мережі передачі даних, що пов’язаний з другим комутатором мережі по двом каналам Ethernet. Пропускна здібність кожного каналу складає 100 Мбіт/c. Проаналізовано перехідний режим роботи системи для трьох випадків. У першому випадку інтенсивність надходження пакетів є нижчою за інтенсивність їх обслуговування; у другому випадку інтенсивність надходження пакетів дорівнює інтенсивності їх обслуговування; в третьому випадку інтенсивність надходження більше за інтенсивність обслуговування приладу. Для кожного випадку знайдені імовірності стану системи, у тому числі імовірності втрати пакетів і час перехідного режиму. Ілюстровано, що при збільшенні інтенсивності вхідного трафіка час перехідного процесу зменшується, а імовірність втрати пакетів зростає. Так за збільшенням інтенсивності надходження пакетів до 10 разів імовірність втрати пакетів зростає до 82%, а час перехідного режиму становить 0,0001 с, що в 6 разів менше часу перехідного режиму у нормальному режимі функціонування мережі, коли інтенсивність вхідних потоків  є меншою, ніж інтенсивність обслуговування . Розраховано імовірності станів системи за умови стрибків інтенсивності вхідного трафіка. Розглядається вплив одного та двох стрибків. За першого стрибка, коли інтенсивність надходження пакетів стрімко збільшується з  пакетів/с до пакетів/с, імовірність втрати пакетів зростає до 82%. При різкому зменшенні інтенсивності надходження пакетів до початкового значення в наступний момент часу імовірність втрати пакетів знову зменшується до 8%. У роботі показано, що в стаціонарному режимі після відновлення системи ці імовірності визначаються тільки параметрами системи після всіх стрибків.