DETERMINATION AND ANALYSIS OF THE TEMPERATURE FIELD OF A CONTINUOUS ELECTRICALLY CONDUCTIVE BALL WITH SHORT-TERM INDUCTION HEATING

Abstract

A physico-mathematical model for determining the temperature in a ball valve with short-term induction heating is proposed. The ratio of Maxwell's electrodynamics and nonstationary thermal conductivity is chosen for the initial system of equations of this model, which consists of two stages. On the basis of such relations the centrally symmetric problems of electrodynamics and thermal conductivity for a continuous electrically conductive sphere are formulated. The material of the sphere is homogeneous, isotropic and non-ferromagnetic. Its physical characteristics are assumed to be constant and equal to their average value in the considered ranges of temperature change.

At the first stage, Maxwell's relations determine the vector of magnetic field strength and Joule heat that arises in an electrically conductive sphere due to its short-term induction heating by eddy currents.

At the second stage of the heat equation, in which the heat source is the Joule heat, we find the temperature distribution in a solid sphere. The azimuthal component of the magnetic field vector and the temperature are chosen as the determining functions.

To construct solutions of the formulated initial-boundary value problems of electrodynamics and thermal conductivity, a polynomial approximation of defining functions over a radial variable is used. The approximation polynomials are chosen so as to take into account the given boundary conditions for the defining functions, both on the surface of the sphere and in its center. This made it possible to reduce the initial initial-boundary value problems to the defining functions to the corresponding Cauchy problems to the radially variable characteristics of these functions. General solutions of Cauchy problems with homogeneous nonstationary electromagnetic action are obtained.

The action of eddy currents in the unstable mode is mathematically modeled by the electromagnetic action in the mode with a pulse modular signal. This action is given by the values of the azimuthal component of the magnetic field strength vector on the surface of the sphere.

The change in Joule heat in time and temperature in the sphere depending on the amplitude-frequency characteristics of the considered unstable electromagnetic action in the mode with a pulse modular signal and the time of its duration is numerically analyzed.

Запропоновано фізико-математичну модель визначення температури у кульовому електропровідному клапані за короткочасного індукційного нагріву. За вихідну систему рівнянь даної моделі, яка складається з двох етапів, вибрано співвідношення електродинаміки Максвелла і нестаціонарної теплопровідності. На основі таких співвідношень сформульовано центрально-симетричні задачі електродинаміки і теплопровідності для суцільної електропровідної кулі. Матеріал кулі однорідний ізотропний і неферомагнітний. Його фізичні характеристики приймаються сталими і рівними їх середнім значенням в розглядуваних діапазонах зміни температури.

На першому етапі зі співвідношень Максвелла визначається вектор напруженості магнітного поля та тепло Джоуля, що виникає в електропровідній кулі внаслідок її короткочасного індукційного нагріву вихровими струмами.

На другому етапі з рівняння теплопровідності, в якому джерелом тепла є тепло Джоуля, знаходимо розподіл температури у суцільній кулі. За визначальні функції вибрано азимутальну компоненту вектора напруженості магнітного поля і температуру.

Для побудови розв’язків сформульованих початково-крайових задач електродинаміки і теплопровідності використано поліноміальну апроксимацію визначальних функцій по радіальній змінній. Апроксимаційні поліноми вибрано таким чином, щоб врахувати задані граничні умови на визначальні функції, як на поверхні кулі, так і в її центрі. Це дало змогу звести вихідні початково-крайові задачі на визначальні функції до відповідних задач Коші на інтегральні по радіальній змінній характеристики цих функцій. Отримано загальні розв’язки задач Коші за однорідної нестаціонарної електромагнітної дії.

Дію вихрових струмів в неусталеному режимі математично моделюємо електромагнітною дією в режимі з імпульсним модулівним сигналом. Дана дія задається значеннями азимутальної компоненти вектора напруженості магнітного поля на поверхні кулі.

Чисельно проаналізовано зміну в часі тепла Джоуля і температури у кулі залежно від амплітудно-частотних характеристик розглядуваної неусталеної електромагнітної дії та часу її тривалості.