MODELLING OF COMPUTATIONAL 2D-TEMPLATES AND CUBATURES AS THE PROBLEMS OF SYSTEM ANALYSIS

Abstract

Numerical integration is becoming an increasingly important procedure in the modern method of finite elements (MFE). It is clear that the overwhelming majority of known cubatures is associated with triangles and squares. Unfortunately, not all cubatures are suitable for practical use. For example, there are cubatures with negative weight number. According to modern American mathematicians G. Strang and J. Fix, the problem of constructing the cubatures even on triangular and square patterns remains relevant. To obtain new cubatures pseudo-random numbers and the Monte-Carlo quasi-method are used.

By the example of well-known systems of triangular and square Pythagorean numbers in the 50s of the twentieth century the systems of triangular and square computational templates and corresponding cubatures appeared in the MFE. The peculiarity of system analysis is that on one template there may be several alternative cubatures within the law of conservation of weight balance. In these cases the problem of segment testing of new bases (for compatibility) arises. Efforts spent to stratify the selection result in improved quality of evaluation.

The paper considers systems of computational 2D-templates which are formed following the example of arithmetic systems and geometry of triangular and square Pythagorean numbers. The purpose of the study is to illustrate the possibilities and advantages of the procedure of stratification of selective applicates, to emphasize the important role of centered models (with integration node in the barycenter of a triangle, square) on the examples of computational 2D-templates and random cubatures. The study found the following: if the number of integration nodes and their location was recorded, it is necessary to find out which criterion should be used to determine the coefficients of the linear combination of applicates. In the system of alternative cubatures none of the stratification criteria has a significant advantage over the others. For each criterion one can choose an example in which it will be the best. To find the most effective cubature for a particular task a special analysis is required.

Численне інтегрування стає все більш важливою процедурою в сучасному методі скінченних елементів (МСЕ). Зрозуміло, що переважна більшість відомих кубатур асоціюється з трикутниками і квадратами. На жаль, не всі кубатури придатні для практичного використання. Наприклад, є кубатури з від’ємними ваговими коефіцієнтами. На думку сучасних американських математиків Г. Стренга і Дж. Фікса, проблема конструювання кубатур навіть на трикутних та квадратних шаблонах лишається актуальною. Щоб отримати нові кубатури, використовуються псевдовипадкові числа і квазіметод Монте-Карло.

На зразок відомих систем трикутних і квадратних чисел Піфагора у 50-ті роки двадцятого століття в МСЕ виникли системи трикутних і квадратних обчислювальних шаблонів та відповідних кубатур. Особливість системного аналізу полягає в тому, що на одному шаблоні може існувати декілька альтернативних кубатур в межах закону збереження вагового балансу. В цих випадках постає проблема сегментного тестування нових базисів (на сумісність). Зусилля, що затрачені на стратифікацію вибірки, обертаються покращенням якості оцінки.

У роботі розглядаються системи обчислювальних 2D-шаблонів, які утворені на зразок арифметичних систем і геометрії трикутних і квадратних чисел Піфагора. Мета дослідження – на прикладах обчислювальних 2D-шаблонів і випадкових кубатур проілюструвати можливості і переваги процедури стратифікації вибіркових аплікат, підкреслити важливу роль центрованих моделей (з вузлом інтегрування в барицентрі трикутника, квадрата). В результаті дослідження з’ясувалося: якщо зафіксовано кількість вузлів інтегрування та їх розташування, то необхідно з’ясувати, яким критерієм скористатися для визначення коефіцієнтів лінійної комбінації аплікат. В системі альтернативних кубатур жоден із критеріїв стратифікації не має помітної переваги над іншими. Для кожного критерію можна підібрати приклад, в якому він буде кращим. Щоб знайти найбільш ефективну кубатуру для конкретної задачі потрібен спеціальний аналіз.