МОДЕЛЮВАННЯ ДИНАМІЧНИХ ПРОЦЕСІВ МЕТОДОМ ГІБРИДНОГО ІНТЕГРАЛЬНОГО ПЕРЕТВОРЕННЯ ТИПУ БЕССЕЛЯ-ЕЙЛЕРА-БЕССЕЛЯ НА ПОЛЯРНІЙ ОСІ

Abstract

На сучасному етапі науково-технічного прогресу, особливо у зв’язку з широким використанням композитних матеріалів, існує нагальна потреба у вивченні фізико-технічних характеристик таких матеріалів, що знаходяться в різних умовах експлуатації, що математично призводить до задачі розв’язування сепаратної системи диференціальних рівнянь другого порядку на кусково-однорідному інтервалі з відповідними початковими та крайовими умовами, зокрема, задача динаміки математично призводить до побудови розв’язку сепаратної системи диференціальних рівнянь з частинними похідними гіперболічного типу.

Одним із ефективних методів побудови інтегральних зображень аналітичних розв’язків алгоритмічного характеру задач математичної фізики є метод гібридних інтегральних перетворень.

У цій роботі побудовано розв’язок задачі динаміки на трискладовій полярній осі  з двома точками спряження методом гібридного інтегрального перетворення Бесселя-Ейлера-Бесселя.

Задача динаміки на трискладовій полярній осі математично призводить до побудови обмеженого розв’язку сепаратної системи трьох диференціальних рівнянь з частинними похідними гіперболічного типу з відповідними початковими умовами, умовами спряження та крайовими умовами. Застосувавши до цієї крайової задачі гібридне інтегральне перетворення Бесселя-Ейлера-Бесселя, отримаємо задачу Коші. Знайшовши розв’язок задачі Коші, ми застосовуємо до нього обернене гібридне інтегральне перетворення Бесселя-Ейлера-Бесселя.

Пряме інтегральне перетворення Бесселя-Ейлера-Бесселя на полярній осі з двома точками спряження записується у вигляді матриці-рядка. Вихідна система та початкові умови записуються в матричній формі, і ми застосовуємо операторну матрицю-рядок до заданої задачі за правилом множення матриць. В результаті отримуємо задачу Коші для звичайного диференціального рівняння. Обернене перетворення Бесселя-Ейлера-Бесселя записується у вигляді операторної матриці-стовпця, і ми застосовуємо його до побудованого розв’язку задачі Коші. Після здійснення певних перетворень ми отримуємо єдиний розв’язок вихідної задачі.

Побудовані розв’язки крайових задач мають алгоритмічний характер, що дозволяє використовувати їх як у теоретичних дослідженнях, так і в числових розрахунках.

At the present stage of scientific and technological progress, especially in connection with the widespread use of composite materials, there is an urgent need to study the physical and technical characteristics of such  materials that are in different operating conditions, which mathematically leads to the problems of solving a separate system of differential equations of the second order on a piecewise homogeneous interval with the corresponding initial and boundary conditions, in particular, the dynamics problem mathematically leads to the construction of a solution of a separate system of partial differential equations of hyperbolic type.

One of the effective methods for constructing of integral representations of analytic solutions of the algorithmic nature of the problems of mathematical physics is the method of hybrid integral transforms.

In this paper we construct a solution of the dynamics problem on the three-component polar axis  with two points of conjugation by the method of hybrid integral Bessel-Euler-Bessel transform. The problem of dynamics on the three-component polar axis mathematically leads to the construction of a limited solution of a separate system of three partial differential equations of hyperbolic type with corresponding initial conditions, conjugation conditions and boundary conditions. Applying to this boundary-value problem the hybrid integral Bessel-Euler-Bessel transform, we obtain the Cauchy problem. Finding a solution to the Cauchy problem, we apply to it the inverse hybrid integral Bessel-Euler-Bessel transform.

A straight integral Bessel-Euler-Bessel transform on the polar axis with two points of conjugation is written in the form of a matrix row. The output system and the initial conditions are written in a matrix form and we apply the operator matrix row to the given problem by the rule of multiplication of matrices. As a result we obtain the Cauchy problem for the ordinary differential equation. The inverse Bessel-Euler-Bessel transform is written in the form of an operator matrix column and we apply it to the constructed solution of the Cauchy problem. After completing certain transformations, we obtain the unique solution of the original problem.

The constructed solutions of boundary value problems have an algorithmic character, which allows us to use them both in theoretical studies and in numerical calculations.