MATHEMATICAL MODELING IN GEOMETRICALLY NONLINEAR ELASTICITY THEORY PROBLEMS

Аннотация

The resolve of many important problems in practice that arise in modern technology cannot always be obtained by traditional methods of analytic function theory or by means of integral transformations. This applies, for example, to contact problems, which take into account the finite size of the region in at least one direction, or investigate environments with curvilinear anisotropy and the like. The means of mathematical theory of elasticity are not very effective for the study of such problems. In this case, it is advisable to use the achievements of the theory of potential. The use of asymptotic methods, even in complex cases, allows to obtain reasonable approximate equations, to clarify the qualitative patterns and to obtain analytical solutions.This paper presents a generalization of the perturbation method, which allows us to reduce the study of complex problems of geometrically nonlinear elasticity theory (in plane and spatial formulation) to the sequential solution of simpler boundary value problems of potential theory. Geometrically nonlinear theory of elasticity contains some features that make it different from classical (linear) theory. The main difference is to take into account the difference between the geometry of the undeformed and deformed states of the studied body, when there are displacements that cause significant changes in the geometry of the body. The equilibrium equation must be made taking into account changes in the shape and size of structures. Taking into account the final deformations, which in the creation of mathematical models leads to significant difficulties in solving problems, but at the same time brings the model closer to the real problem.The perturbation method, which is used to solve nonlinear equations in partial derivatives, has theoretical and practical significance. It is universal and can be used to analyze various problems of mathematical physics. The developed approach can be applied to solve problems in which residual deformations play a significant role. For example, the bending of thin plates and shells. In the considered model problem it was possible to allocate influence of geometrical nonlinearity on a stress-strain state of the investigated body. That is why the results of the presented work have both theoretical and applied significance, and the study is relevant.

Розв’язки багатьох важливих для практики задач, що виникають в сучасній техніці, не завжди можуть бути отримані традиційними методами теорії аналітичних функцій або за допомогою інтегральних перетворень. Це відноситься, наприклад, до контактних задач, в яких враховуються скінченні розміри області хоча б в одному напрямку, або досліджуються середовища з криволінійною анізотропією тощо. Засоби  математичної теорії пружності виявляються не надто ефективними для дослідження таких задач. У цьому випадку доцільно використовувати досягнення теорії потенціалу.  Застосування ж асимптотичних методів при цьому, навіть в складних випадках, дозволяє отримувати обґрунтовані наближені рівняння, уточнювати якісні закономірності і отримувати аналітичні розв’язки задач.

У даній роботі представлене узагальнення методу збурень, яке дозволяє звести дослідження складних задач геометрично нелінійної теорії пружності (в плоскій та просторовій постановці) до послідовного розв’язання більш простих крайових задач теорії потенціалу. Геометрично нелінійна теорія пружності містить в собі деякі особливості, завдяки яким вона відрізняється від класичної (лінійної) теорії. Головна відмінність полягає в урахуванні різниці між геометрією недеформованого та деформованого станів досліджуваного тіла, коли мають місце переміщення, які викликають значні зміни геометрії тіла. При цьому рівняння рівноваги необхідно складати з урахуванням зміни форми і розмірів конструкцій. Врахування кінцевих деформацій, які при створенні математичних моделей веде до значних труднощів при розв’язуванні задач, але в той же час наближає модель до реальної проблеми.

Метод збурень, що використовується для розв’язання нелінійних рівнянь у частинних похідних, має теоретичне і практичне значення. Він універсальний і може використовуватися для аналізу різних завдань математичної фізики. Розроблений підхід може бути застосований для вирішення завдань, в яких істотну роль грають залишкові деформації. Наприклад, згин тонких пластин і оболонок. У розглянутій модельній задачі вдалося виділити вплив геометричної нелінійності на напружено-деформований стан досліджуваного тіла.

 Саме тому результати представленої роботи мають як теоретичне, так і прикладне значення, а дослідження є актуальним.