МОДЕЛЮВАННЯ ПРЯМОЛІНІЙНОГО ТА ПЛОСКОГО РОЗМІЩЕННЯ ТОЧОК МЕТРИЧНОГО ПРОСТОРУ

Авторы

DOI:

https://doi.org/10.32782/KNTU2618-0340/2020.3.2-1.15

Ключевые слова:

пряма лінія, площина, кут, метричний простір, прямолінійно розміщена множина точок, кутова характеристика, плоско розміщена множина точок

Аннотация

У роботі розглядаються питання геометричної структуризації множин точок довільного метричного простору. Запропоновані методи побудови прямолінійно і плоско розміщених множин точок метричного простору. Такі множини є узагальненням понять, відповідно, прямої лінії і площини у класичній геометрії Евкліда. Побудова таких множин точок дає можливість моделювати різні геометричні образи у метричних просторах.

Поняття прямолінійного розміщення точок базується на класичному понятті «лежати між», що широко використовується у сучасних геометричних системах. У роботі використовуються поняття кута, утвореного трьома точками метричного простору, та поняття кутової характеристики цього кута. Ці поняття є базовими для визначення плоского розміщення точок метричного простору. Крім того, факт прямолінійного розміщення точок можна отримати, також, з використанням понять кута та його кутової характеристики.

Для встановлення факту плоского розміщення точок метричного простору використовується формула Юнгіуса обчислення об’єму тетраедра через довжину його бічних ребер. Умова рівності нулю цього об’єму є ознакою плоского розміщення чотирьох вершин тетраедра. У роботі використовується модифікована формула Юнгіуса, в якій об’єм тетраедра обчислюється через довжини трьох його ребер, що виходять з однієї вершини, та косинуси плоских кутів при цій вершині. Оскільки такі обчислення досить трудомісткі, то в роботі пропонується проводити їх із використанням програмного засобу «Калькулятор». За допомогою цього калькулятора можна встановити: чи існує тетраедр із заданими ребрами, і якщо так,  то обчислити об’єм такого тетраедра.

У роботі наведені приклади прямолінійно та плоско розміщених множин точок у різних класичних метричних просторах. Зокрема, розглянуті приклади таких множин у просторі неперервних на відрізку функцій та у просторі інтегрованих за Ріманом на відрізку функцій. Деякі приклади вказують на «неевклідовість» понять прямолінійного та плоского розміщення точок. Це дає змогу моделювати у метричних просторах основні поняття та властивості неевклідових геометрій.

 

The paper deals with the issues of geometric structuring of sets of points of an arbitrary metric space. Methods for constructing rectilinear and flat sets of points of metric space are proposed. Such sets are a generalization of the concepts, respectively, of a straight line and a plane in the classical geometry Euclid. The construction of such sets of points makes it possible to model various geometric images in metric spaces.

The concept of rectilinear placement of points is based on the classical concept of 'lie between', which is widely used in modern geometric systems. The work uses the concept of an angle formed by three points of the metric space, and the concept of the angular characteristic of this angle. These concepts are basic for the definition of a flat placement of points in a metric space. In addition, the fact of the rectilinear placement of points can also be obtained using the concepts of angle and its angular characteristic.

For establish the fact that the points of the metric space are flat placement, the Jungius formula is used to calculate the volume of a tetrahedron in terms of the length of its lateral edges. The condition for this volume to be zero is a sign of the flat placement of the four vertices of the tetrahedron. The paper uses a modified Jungius formula, in which the volume of a tetrahedron is calculated in terms of the lengths of its three edges emerging from one vertex and the cosines of plane angles at this vertex. Since such calculations are rather laborious, it is proposed to carry out them using the 'Calculator' software tool. With the help of this calculator, you can determine whether there is a tetrahedron with given edges, and if so, calculate the volume of such a tetrahedron.

The paper gives examples of rectilinear and flat placement sets of points in different classical metric spaces. In particular, examples of such sets are considered in the space of continuous functions on an segment and in the space of Riemann-integrated functions on an segment. Some examples point to the 'non-Euclidean' concepts of rectilinear and flat placement of points. This allows modeling the basic concepts and properties of non-Euclidean geometries in metric spaces.

Библиографические ссылки

Буземан Г. Геометрия геодезических. М.: Физматгиз, 1962. 503 с.

Берже М. Геометрия. Том 1. М.: Мир, 1984. 559 с.

Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2014. 512 с.

Сабитов И. Х. Московское математическое общество и метрическая геометрия: от Петерсона до современных исследований. Труды Московского математического общества. 2016. Том 77. Вып. 2. С. 185-218.

Довгошей А. А., Дордовский Д. В. Отношение лежать между и изометрические вложения метрических пространств. Укр. мат. журн. 2009. № 10(61). С. 1319-1328.

Галущак С. І. Деякі геометричні криві у сенсі d-відрізка. Прикарпатський вісник НТШ. Число. 2016. № 1(33). С. 157-166.

Кузьмич В. І. Геометричні властивості метричних просторів. Укр. мат. журн. 2019. № 3(71). С. 382–399. DOI: 10.1007/s11253-019-01656-1

Kuzʹmych, V. I., Savchenko A. G. Geometric Relations in an Arbitrary Metric Space. Matematychni Studii. 2019. № 1(52). С. 8695. DOI: 10.30970/ms.52.1.76-85

Savchenko A., Zarichnyi M. Metrization of Free Groups on Ultrametric Spaces. Topol. and Аppl. 2010. № 4(157). С. 724–729. https://doi.org/10.1016/j.topol.2009.08.015

Savchenko O. A Remark on Stationary Fuzzy Metric Spaces. Carpathian Mathematical Publications. 2011. № 1(3). С. 124–129. http://journals.pu.if.ua/index.php/cmp/article/view/85

Savchenko A. Fuzzy hyperspace monad. Matematychni Studii. 2010. № 2(33). С. 192–198. URL: http://matstud.org.ua/texts/2010/33_2/192-198.pdf

Savchenko A., Zarichnyi M. Probability Measure Monad on the Category of Fuzzy Ultrametric Spaces. Azerb. J. Math. 2011. № 1(1). 114–121. https://www.azjm.org/volumes/0101/0101-6.pdf

Kiosak V., Savchenko A., Zarichnyi M. Strong topology on the set of persistence diagrams. AIP Conference Proceedings. 2019. № 1(2164). С. 040006-1–040006-4. DOI:10.1063/1.5130798

Колмогоров А. М., Фомін С. В. Елементи теорії функцій і функціонального аналізу. Київ: Вища школа, 1974. 456 с.

Каган В.Ф. Очерки по геометрии. М.: Издательство Московского университета, 1963. 571 с.

Кузьмич В., Кузьмич Л. Побудова прямолінійно розміщених множин при вивченні метричних просторів. Науковий вісник Східноєвропейського національного університету імені Лесі Українки. Серія: Педагогічні науки. 2018. № 9(382). С. 30-36.

Понарин Я. П. Элементарная геометрия. Том 2: Стереометрия, преобразования пространства. М.: МЦНМО, 2006. 256 с.

Кузьмич В. І., Кузьмич Ю. В. Аналоги формули Юнгіуса об’єму тетраедра. Вісник Черкаського університету. Серія: Педагогічні науки. 2012. № 36(249). С. 55-64.

Kuzmich V. I., Kuzmich Y. V. Software Tool for Calculating the Volume of the Tetrahedron on the Lengths of its Edges. Інформаційні технології в освіті. Херсон: Видавництво Херсонського державного університету. 2012. Вип. 12. С. 67-72.

Кузьмич В. І. Побудова плоских образів у довільному метричному просторі. Вісник Черкаського університету. Серія: Педагогічні науки. 2017. № 11. С. 40–46.

Кузьмич В. І. Кутова характеристика у метричному просторі. Algebraic and Geometric Methods of Analysis: International Scientific Conference: book of abstracts. (Ukraine, Odessa, May 31 – June 5, 2017). Odessa, 2017. С. 11–12. URL: https://www.imath.kiev.ua/~topology/conf/agma2017/agma2017_abstracts.pdf

Кузьмич В. І. Плоско розміщені множини точок у метричному просторі. Вісник Львівського університету. Серія: механіко-математична. 2017. Вип. 83. С. 58–71.

Buzeman, G. (1962). Geometriya geodezicheskikh. M.: Fizmatgiz.

Berzhe, M. (1984). Geometriya. Tom 1. M.: Mir.

Burago, D. Yu., Burago Yu. D., & Ivanov S. V. (2014). Kurs metricheskoy geometrii. Moskva-Izhevsk: Institut komp'yuternykh issledovaniy.

Sabitov, I. Kh. (2016). Moskovskoye matematicheskoye obshchestvo i metricheskaya geometriya : ot Petersona do sovremennykh issledovaniy. Trudy Moskovskogo matematicheskogo obshchestva. 77, 2, 185-218.

Dovgoshey, A. A., & Dordovskiy, D. V. (2009). Otnosheniye lezhat' mezhdu i izometricheskiye vlozheniya metricheskikh prostranstv. Ukr. mat. zhurn. 61, 10, 1319-1328.

Halushchak, S. I. (2016). Deyaki heometrychni kryvi u sensi d-vidrizka. Prykarpat•sʹkyy visnyk NTSH. Chyslo. 33, 1, 157-166.

Kuzʹmych, V. I. (2019). Heometrychni vlastyvosti metrychnykh prostoriv. Ukr. mat. zhurn. 71, 3, 382–399. DOI: 10.1007/s11253-019-01656-1

Kuzʹmych, V. I., Savchenko, A. G. (2019). Geometric Relations in an Arbitrary Metric Space. Matematychni Studii. 52, 1, 86-95. DOI: 10.30970/ms.52.1.76-85

Savchenko, A., Zarichnyi, M. (2010). Metrization of free groups on ultrametric spaces, Topol. and Аppl. 157, 4, 724–729. DOI: 10.1016/j.topol.2009.08.015

Savchenko, O. (2011). A remark on stationary fuzzy metric spaces. Carpathian Mathematical Publications. 3, 1, 124–129. Retrieved from http://journals.pu.if.ua/index.php/cmp/article/view/85

Savchenko, A. (2010). Fuzzy hyperspace monad. Matematychni Studii. 33, 2, 192–198.

Retrieved from http://matstud.org.ua/texts/2010/33_2/192-198.pdf

Savchenko, A., Zarichnyi, M. (2011). Probability measure monad on the category of fuzzy ultrametric spaces. Azerb. J. Math. 1, 1, 114–121. Retrieved from https://www.azjm.org/volumes/0101/0101-6.pdf

Kiosak, V., Savchenko, A., Zarichnyi, M. (2019). Strong topology on the set of persistence diagrams. AIP Conference Proceedings. 2164, 1, 040006-1–040006-4. DOI:10.1063/1.5130798.

Kolmohorov, A. M., Fomin, S. V. (1974). Elementy teoriyi funktsiy i funktsionalʹnoho analizu. Kyyiv: Vyshcha shkola.

Kagan, V. F. (1963). Ocherki po geometrii. M.: Izdatel'stvo Moskovskogo universiteta.

Kuzʹmych, V., Kuzʹmych, L. (2018). Pobudova pryamoliniyno rozmishchenykh mnozhyn pry vyvchenni metrychnykh prostoriv. Naukovyy visnyk Skhidnoyevropeysʹkoho natsionalʹnoho universytetu imeni Lesi Ukrayinky. Seriya: Pedahohichni nauky. 382, 9, 30-36.

Ponarin, Ya. P. (2006). Elementarnaya geometriya. Tom 2: Stereometriya, preobrazovaniya prostranstva. M.: MTSNMO.

Kuzʹmych, V. I., Kuzʹmych, Yu. V. (2012). Analohy formuly Yunhiusa obʺyemu tetraedra. Visnyk Cherkasʹkoho universytetu. Seriya: Pedahohichni nauky. 249, 36, 55-64.

Kuzmich, V. I., Kuzmich, Y. V. (2012). Software tool for calculating the volume of the tetrahedron on the lengths of its edges. Informatsiyni tekhnolohiyi v osviti: Kherson: Vydavnytstvo Khersonsʹkoho derzhavnoho universytetu. 12, 67-72.

Kuzʹmych, V. I. (2017). Pobudova ploskykh obraziv u dovilʹnomu metrychnomu prostori. Visnyk Cherkasʹkoho universytetu. Seriya: Pedahohichni nauky. 11, 40–46.

Kuzʹmych, V. I. (2017). Kutova kharakterystyka u metrychnomu prostori. Algebraic and geometric methods of analysis: International scientific conference: book of abstracts. (Ukraine, Odessa, May 31 – June 5, 2017), pp. 11-12.

Kuzʹmych, V. I. (2017). Plosko rozmishcheni mnozhyny tochok u metrychnomu prostori. Visnyk Lʹvivsʹkoho universytetu. Seriya: mekhaniko-matematychna. 83, 58–71.

Опубликован

2020-09-06 — Обновлена 2020-09-07

Версии

Как цитировать

Кузьмич , В. І., Кузьмич , Л. В., & Савченко , О. Г. (2020). МОДЕЛЮВАННЯ ПРЯМОЛІНІЙНОГО ТА ПЛОСКОГО РОЗМІЩЕННЯ ТОЧОК МЕТРИЧНОГО ПРОСТОРУ. APPLIED QUESTIONS OF MATHEMATICAL MODELLING, 3(2.1), 165-173. https://doi.org/10.32782/KNTU2618-0340/2020.3.2-1.15 (Original work published 6 сентябрь 2020 г.)