MATHEMATICAL MODEL OF THE TEMPERATURE FIELD OF A HOLLOW ROLL OF ROLLING MILL WITH DIFFERENT CONDITIONS HEAT EXCHANGE ON THE SURFACE

Аннотация

The paper considers a mathematical model of radiation-convective heat transfer, which occurs during heat treatment between the roll of a roller mill and the heated metal. We consider the temperature field of a hollow cylindrical roll rotating around its axis at a constant angular velocity and heating up from a metal that has a constant temperature in the contact zone. Outside the contact zone with the metal, the roll gives off heat to its environment. A physical model of the heat transfer process is constructed, in which a thermally thin hollow cylinder is considered, the temperature field of which weakly depends on the radius of the cylinder. Outside of interaction with the metal, the roll gives off heat to the surrounding medium.

 The mathematical model is considered in the form of a boundary value problem for a homogeneous heat equation with nonlinear boundary conditions in a cylindrical coordinate system. The heat source that heats up the roll body is the moving belt, which transfers heat to the outside of the roll. At the initial moment of time on the surface and at the ends of the rolls have a constant initial temperature. On the surface in the contact zone, the temperature of the roll is equal to the temperature of the metal being processed, and on the other part of the roll surface, heat exchange with the environment takes place according to the Stefan-Boltzmann law. At a significant number of revolutions, the surface temperature function becomes periodic with the period of rotation of the roll around its axis.

A simplified mathematical model of the temperature field of the section perpendicular to the axis of rotation of the hollow roll under the conditions of the above problem is considered. With such a simplification, the derivative with respect to the axial coordinate in the heat conduction equation vanishes. A method and an algorithm for solving the problem are proposed. The algorithm includes consideration of the radius-averaged temperature of the rolling mill roll. To find the temperature distribution, the solution to the boundary value problem is reduced to solving an equivalent nonlinear integral equation of the Hammerstein type with a kernel in the form of the Green's function. The Green's function is constructed in the form of a trigonometric series with coefficients - Bessel functions of the first kind of the n-th order, which is a solution to an own spectral problem with a parameter.

As a simplification, a thermally thin hollow cylinder, whose temperature field weakly depends on the radius, is considered, and a transition is made to the consideration of the averaged temperature over the radius.

A thermodynamic state is considered, which is established some time after the start of the process, as a result of which the Green's function turns out to be periodic in the angular coordinate and in time.

У роботі розглядається математична модель радіаційно-конвективного теплообміну, що виникає під час термічної обробки або пластичної деформації між валком прокатного стану та металом, що розігрівається. Розглядається температурне поле  порожнистого валка циліндричної форми, що обертається навколо своєї осі із сталою кутовою швидкістю та розігрівається від металу, який має сталу температуру у зоні контакту. За межами зони контакту з металом валок віддає тепло в оточуюче їх середовище. Побудована фізична модель процесу теплообміну у якій розглянуто термічно тонкий порожнистий циліндр, температурне поле якого слабо залежить від радіуса циліндра. Джерелом тепла, що розігріває тіло валка, є рухома стрічка, яка передає тепло зовнішній поверхні валка.

Математична модель розглядається у вигляді крайової задачі для однорідного рівняння теплопровідності з нелінійними граничними умовами у циліндричній системі координат. У початковий момент часу на бічній поверхні та на основах валки мають сталу початкову температуру. На поверхні у зоні контакту температура валка дорівнює температурі металу, що обробляється, а на іншій частині поверхні валка відбувається теплообмін з оточуючим середовищем за законом Стефана-Больцмана. Показано, що при великій кількості обертів валка функція температури поверхні стає періодичною з періодом обертання валка навколо своєї осі, температурне поле стабілізується.

Розглядається спрощена математична модель температурного поля радіального перерізу валка. При такому спрощенні у рівнянні теплопровідності похідна за осьовою координатою зникає. Запропоновано метод та алгоритм розв’язання задачі. Вони включають у себе розгляд усередненої за радіусом температури валка прокатного стану.  Для знаходження температурного розподілу розв’язання крайової задачі зведено до розв’язання еквівалентного їй нелінійного інтегрального рівняння типу Гаммерштейна з ядром у вигляді функції Гріна. Функція Гріна побудована у вигляді тригонометричного ряду з коефіцієнтами – функціями Бесселя першого роду n-го порядку, що є розв’язком власної спектральної задачі з параметром.

В якості спрощення розглянуто тонкий у термічному відношенні порожнистий циліндр, температурне поле якого слабо залежить від радіуса, та здійснено перехід до розгляду усередненої температури по радіусу.

Розглянуто термодинамічний стан, що встановлюється через деякий час після початку процессу, в результаті чого функція Гріна стає періодичною за кутовою координатою та за часом.