КОМБІНОВАНА ГЕОМЕТРИЧНА МОДЕЛЬ В ОПТИМІЗАЦІЙНОМУ ПІДХОДІ ВИЗНАЧЕННЯ ПАРАМЕТРІВ НЕДОСТУПНОЇ ТОЧКИ ОБ'ЄКТА

Аннотация

У даному дослідженні розроблені комбінована геометрична модель та оптимізаційний підхід для визначення параметрів недоступної точки об'єкта. Виявлено проблему і поставлені першочергові задачі.

Суть проблеми: об'єктивне протиріччя між необхідністю отримання точного значення потрібного параметра і наявністю похибок при будь-якому вимірюванні.

Мета дослідження – розробити комплексно комбіновану тривимірну геометричну і аналітичну моделі визначення мінімальної області значень параметрів недоступної точки об'єкта.

Завдання статті:

1. Розробити комбіновану тривимірну геометричну модель з перехресними візирними променями для безконтактного визначення координат недоступної точки об'єкта при заданому розташуванні геодезичного обладнання.
2. Розробити оптимізаційну аналітичну модель визначення області значень параметрів недоступної точки об'єкта відповідно до запропонованої тривимірної геометричної моделі з перехресними візирними променями.

У запропонованому оптимізаційному підході розроблена комбінована тривимірна геометрична модель з перехресними візирними променями для визначення координат недоступних точок об'єкта.

Обумовлена точка C розташовується в області [C_DM, C_EM] мінімальної відстані ρ_min між перехресними візирними променями.

Оптимізаційна задача визначення координат недоступної точки об'єкта в просторі зводиться до задачі визначення мінімальної відстані між двома перехресними візирними променями.

Завдання має єдине рішення, якщо візирні промені не паралельні.

Пошук екстремуму функції відстані між двома візирними променями, і саме мінімуму, має реальну геометричну інтерпретацію.

Функція відстані ρ=f(t_CD, t_CE) досягає свого екстремуму ρ_min, коли її часткові похідні по кожній змінній дорівнюють нулю. Тому вирішується система диференціальних рівнянь.

Шукана точка C(x_C, y_C, z_C) може, наприклад, розташовуватися в середині мінімального відрізка [C_DM, C_EM].

Запропонований теоретичний підхід перевірений на реальних даних при відновленні Спасо-Преображенського собору в місті Одесі, Україна.

Визначалися координати найвищої точки колони пілястра С і точки С' рівня землі відносно горизонтальної площини з нульовими візирними променями.

In the present research the combined geometrical model and the optimizing approach to the determination of the parameters of an inaccessible point of an object is developed. The common issues are revealed and essential steps of their resolution are identified.

The essence of the problem is that the unavoidable contradiction between a need of obtaining the exact value of the determined parameter and an error involved in any measurement.

The purpose of the present work is to develop in a complex the combined three-dimensional geometrical and analytical models of the determination of the minimum domain (area, vicinity) of values of the parameters of an inaccessible point of an object.

It is achieved in two steps:

1. Development of a combined three-dimensional geometrical model with crossed directional rays for contactless determination of the coordinates of an inaccessible point of an object under a given arrangement of the geodetic equipment.
2. Development of an optimizing analytical model for the determination of domain (area, vicinity) of values of parameters of an inaccessible point of an object according to the developed three-dimensional geometrical model with crossed directional rays.

In the proposed optimizing approach, the combined three-dimensional geometrical model with crossed directional rays for the determination of coordinates of the inaccessible points of an object is developed. It is discussed that point C, coordinated of which to be determined, locates in domain [C_DM, C_EM] of the minimum distance ρ_min between crossed directional rays.

The optimizing problem of the determination of coordinates of an inaccessible point of an object in space is reduced to a problem of the determination of the minimum distance between two crossed directional rays.

It is shown that the problem has a unique solution if the directional rays are not parallel. It is discussed that mathematical finding of an extremum of function of the distance between two directional rays, and the discussed minimum, has real geometrical interpretation.

It’s known from the theory of function of multiple variables that function f(t_CD, t_CE) reaches its extremum ρ_min when its partial derivatives by each variable are equal to zero. Therefore, the system of the differential equations solved.

The required point C(x_C, y_C, z_C) can be located, for example, in the middle of the minimum segment [C_DM, C_EM].

The proposed theoretical approach is verified using real experimental data at restoration of the Spaso-Preobrazhenskiy cathedral in the city of Odessa, Ukraine.

Coordinates of the highest point of the colon of a pilaster С and points С' level of the earth concerning a horizontal plane with zero directional rays were determined.