ARBELOS AND ASSOCIATED CIRCLES

Анотація

Geometry as a science originated in Ancient Greece, its axiomatic constructions are described in the "Elements" of Euclid. Euclidean geometry studied the simplest figures on the plane and in space. Greek-speaking mathematicians who lived between the 6^th century BC and 5^th century AD, posed and solved many interesting geometric problems. Most of these tasks were solved graphically, which required the execution of a large number of various complex constructions. At that time it was believed that "truly geometric" are those tasks that were solved only with the help of such "scientific instruments" as a compass and a ruler. Ancient Greek mathematicians paid special attention to one of the most important geometric figures – circles, which even in those days were widely used in practice. Archimedes of Syracuse, who first introduced the concept of arbelos, made a significant contribution to the study of the circle. By arbelos, he understood a flat geometric figure formed by a certain semicircle, from which two smaller semicircles with diameters lying on the diameter of the original semicircle were cut out and divided into two parts. Thus, a curvilinear triangle was formed, bounded by three semicircles.

This work considers the issue of solving well-known ancient geometric problems using modern methods of engineering graphics, analytical geometry and numerical methods, without additional constructions, which are used in the graphical solution of the problems under consideration. When implemented numerically, the problem was reduced to solving a nonlinear equation with one unknown. Nonlinear equations are associated with finding the radii of inscribed or circumscribed circles and the coordinates of their centers. In the work, in particular, circles inscribed in arbelos, paired circles of Archimedes, known as twin circles, the Pappa chain of Alexandria are constructed. Based on the research of modern mathematicians on arbelos, the problems of constructing the circles of Bankoff, Schoch, Woo were solved.

Геометрія як наука зародилася в стародавній Греції, її аксіоматичні побудови описані в "Началах" Евкліда. Евклідова геометрія займалася вивченням найпростіших фігур на площині та в просторі. Грецькомовні математики, які жили в період між VI століттям до н.е. і V століттям н.е., поставили та розв’язали багато цікавих геометричних задач. Більшість цих задач розв’язувалася графічним шляхом, що вимагало виконання великої кількості різноманітних складних побудов. На той час вважалося, що "істинно геометричними" є ті задачі, які розв’язувалися тільки за допомогою таких "наукових інструментів" як циркуль та лінійка. Особливу увагу древньогрецькі математики приділяли одному із найважливіших геометричних образів – колу, яке навіть у ті часи знаходило широке практичне застосування. Суттєвий внесок у дослідження кола зробив Архімед Сіракузький, який вперше ввів поняття арбелос. Під арбелосом він розумів плоску геометричну фігуру, утворену деяким півколом, з якого вирізані два менших півкола з діаметрами, що лежать на діаметрі вихідного кола і розбивають його на дві частини. Таким чином, утворювався криволінійний трикутник, обмежений трьома півколами.

У пропонованій роботі розглядається питання розв’язання відомих старовинних геометричних задач із застосуванням сучасних методів інженерної графіки, аналітичної геометрії та числових методів, без проведення додаткових побудов, які використовуються при графічному розв'язанні розглянутих задач. При числовій реалізації поставлена задача зводилася до розв’язання нелінійного рівняння з однією змінною. Нелінійні рівняння пов’язані із знаходженням радіусів вписаних або описаних кіл та координат їх центрів. У роботі, зокрема, побудовані коло, вписане в арбелос, спарені кола Архімеда, відомі як кола-близнюки, ланцюг Паппи Олександрійського. Спираючись на дослідження сучасних математиків, присвячених арбелосу, розв’язані задачі побудови кіл Банкова (Bankoff), Шоха (Schoch), Ву (Woo).